$n$ th Término de la secuencia$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,\cdots$

Question

Demostrar que $n$th Término de la secuencia $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,\cdots$ está dado por

$$T_n =\left[\sqrt{2n+\frac{1}{2}}\right]$$ where $[.]$ es la función del Suelo

Yo:

Es claro que el $1$st Plazo es $1$, $3$rd Plazo es $2$, $6$el plazo es de $3$ y así sucesivamente

Hemos Triangular números como $1,3,6,10,...$ cuyas $m$th término está dado por $\frac{m(m+1)}{2}$

Por lo tanto para la secuencia que se indica

$$T_{\frac{m(m+1)}{2}}=m$$

Dejar $$\frac{m(m+1)}{2}=n$$ we get Quadratic in $m$ como

$$m^2+m-2n=0$$ So $m$ takes $\frac{-1\pm \sqrt{1+8n}}{2}$ and since $m$ es un número entero positivo que hemos

$$m=\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}$$

por lo tanto

$$T_n=\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}$$

cómo proceder en el futuro?

Answer 1

Tenga en cuenta que$$T_n=\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}$$ is true only if $$n=m(m+1)/2.$$ Now you have to define $ T_n$ for other values of $ n$. Since terms repeat between two such triangular numbers and you know the value of $ T_n$ for $ n = m (m +1) / 2 $ el resto de la solución debería ser obvio.