Uso del teorema del valor medio; derivado derivado e intervalo abierto

Question

Deje $f : (0,1) \to \mathbb{R}$ ser una función tal que $ |f'(x)| \leq 5 $ en el intervalo abierto $(0,1)$. Demostrar que $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ existe.

Implica la derivada y la función real de sí mismo, así que creo que tengo que usar de algún modo el valor medio teorema.. También, $f$ es continua en a $(0,1)$ y diferenciable en a $(0,1)$ ( debido a que la derivada no existe ).

Pero entonces, la función está definida en el intervalo abierto, por lo que los requisitos para el valor medio teorema no está satisfecho. Supongo que debemos tener en cuenta que los intervalos de la forma$(a,b)$$a > 0$$b < 0$.

Por último, no veo la importancia de la $5$ ... Es solo que hay que establecer que la derivada es acotado, o que el número en sí tiene algunas pruebas ( sería lo mismo si teníamos $3$, por ejemplo? ).

Por favor, dame una pista, no es la solución. Algo así como "considerar el valor medio teorema de los intervalos de la forma ..." sería muy útil.

Answer 1

Elija una secuencia$(x_{n})\subseteq(0,1)$ tal que$x_{n}\rightarrow 1$. Luego \begin{align*} |f(x_{n})-f(x_{m})|=|f'(\eta_{n,m})||x_{n}-x_{m}|\leq 5|x_{n}-x_{m}|, \end {align *} donde$\eta_{n,m}$ es elegido por el teorema del valor medio. Entonces$(f(x_{n}))$ es convergente. Para otra secuencia$(y_{n})$ tal que$y_{n}\rightarrow 1$, considere la secuencia$(z_{n})$ definida por$z_{2n}=x_{n}$,$z_{2n+1}=y_{n}$ para afirmar que los límites de$(f(x_{n}))$ y$(f(y_{n}))$ son lo mismo. Entonces$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)$ existe.

Answer 2

Sugerencia: el uso de MVT muestra que para cada secuencia que converge a$1$,$(f(x_n))$ es una secuencia de Cauchy (ya que$|f(x_n)-f(x_m)|\leq 5|x_n-x_m|$) y tiene un límite, MVT nuevamente le permitirá mostrar si$lim_ny_n=1$,$lim_nf(x_n)=lim_nf(y_n)$. $(|f(x_n)-f(y_n)|\leq 5|x_n-y_n|)$ asi que $lim_nf(x_n)=lim_nf(y_n)$.

Answer 3

Deje $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ ser una secuencia de elementos de $(0,1)$ tal que $\lim_{n\in\mathbb N}x_n=1$. La secuencia de $\bigl(f(x_n)\bigr)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de Cauchy. De hecho, dado $\varepsilon>0$, hay un $p\in\mathbb N$ suh que$$m,n\geqslant p\implies|x_m-x_n|<\frac\varepsilon5$$and therefore$$m,n\geqslant p\implies\bigl|f(x_m)-f(x_n)\bigr|\leqslant5|x_m-x_n|<\frac\varepsilon5;$$this is where $|f'|<5$ se utiliza.

Por lo $\bigl(f(x_n)\bigr)_{n\in\mathbb N}$ converge a la som $l$. De hecho, toda la secuencia converge converge a la misma cantidad, independientemente de la elección de la secuencia. De hecho, si $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ es otra secuencia de elementos de $(0,1)$ tal que $\lim_{n\in\mathbb N}y_n=1$ e si $\lim_{n\to\infty}f(y_n)=l'\neq l$, entonces el seqeunce$$x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,\ldots$$would converge to $1$, but the sequence$$f(x_1),f(y_1),f(x_2),f(y_2),f(x_3),f(y_3),\ldots$$ no convergen y ya he demostrado que esto no puede suceder.

Ahora es fácil probar que $\lim_{x\to1^-}f(x)=l.$

Answer 4

Deje$a, x$ ser tal que$0<a<x<1$ luego por valor medio teorema$$f(x) =f(a) +(x-a) f'(c) $$ Since $ f '$ is bounded it follows that $ \ limsup_ {x \ to 1 ^ {-}} f ( x) = A, \ liminf_ {x \ a 1 ^ {-}} f (x) = B$ exist as real numbers. If $ A \ neq B$ then we can find values $ x, x '$ near to and less than $ 1$ such that $ f (x)$ is near $ A$ and $ f (x ')$ is near $ B$ and further $ | f (x) - f (x') |> (AB) / 2$ and thus the ratio $ (f (x) - f (x ')) / (x-x') = f '(c)$ becomes unbounded as $ x, x'$ get sufficiently close to $ 1$. This contradiction shows that $ A = B$ and hence $ \ lim_ {x \ to 1 ^ {-}} f (x) $ existe.