Sea $E$ sea un espacio de Hilbert complejo y $S\in \mathcal{L}(E)^+$ (es decir $S^*=S$ y $\langle Sx\;, \;x\rangle\geq0$ para todos $x\in E$ ).
Sea $U=\{x\in E; \langle Sx\;, \;x\rangle=1\}$ . Es $U$ ¿un conjunto conectado?
Gracias, señor.
La respuesta para real espacios de Hilbert es no.
Sea $S : \ell^2 \to \ell^2$ definirse como $$S(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (x_1, 0, 0, \ldots, ) = x_1e_1$$
$S$ está acotada y es positiva. Tenemos:
$$1 = \langle Sx,x\rangle = x_1^2$$
lo que implica $x_1 \in \{-1, 1\}$ .
Por lo tanto, $U = \{(x_1, x_2, \ldots) \in \ell^2 : x_1 \in \{-1, 1\}\}$ .
Tenga en cuenta que $U$ está cerrado ya que $U = \langle S\cdot, \cdot\rangle^{-1}(\{1\})$ .
Los decorados $\{(-1, x_2, x_3, \ldots ) \in \ell^2\}$ y $\{(1, x_2, x_3, \ldots ) \in \ell^2\}$ son disjuntos y ambos cerrados en $\ell^2$ por lo que están especialmente cerrados en $U$ .
$E$ es un espacio de Hilbert complejo, por lo que $x_1$ pertenece al círculo unitario, que es conexo.
Sea $F = (\ker S)^{\perp}$ . Entonces $S\lvert_F$ es definida positiva, y la función $r \colon M \to (0,+\infty)$ dado por $r(x) = \sqrt{\langle Sx,x\rangle}$ donde $M$ es la esfera unitaria de $F$ es continua.
Por lo tanto $W = U\cap F = \{ x/r(x) : x \in M\}$ es homeomorfo a $M$ y como las esferas unitarias en espacios complejos normados son conexas, $W$ está conectado [con la salvedad de que algunas personas consideran $\varnothing$ desconectados, para ellos tendríamos que excluir $S = 0$ ]. Y puesto que
$$\langle S(x+y),x+y\rangle = \langle Sx,x\rangle$$
para $y \in \ker F$ se deduce que $U$ es homeomorfo a $(\ker S) \times W$ y, por tanto, conectado.
Es un espacio vectorial topológico (complejo). Todos los espacios vectoriales topológicos reales o complejos están conectados, incluso conectados por trayectorias. $t \mapsto x + t\cdot (y-x)$ es un camino (incluso un arco) que conecta $x$ y $y$ .
$U$ no es convexa, a menos que esté vacía. Si tenemos un $x\in U$ entonces también $-x$ en $U$ y si $U$ fueran convexas, entonces $0 = \frac{1}{2}\bigl(x + (-x)\bigr)$ pertenecería a $U$ demasiado. Pero claro $\langle S0,0\rangle = 0 \neq 1$ . Sin embargo, si $F$ es de dimensión infinita, entonces $U$ es homeomorfo a $E$ . (Es un hecho bastante extraño, que un espacio de Hilbert de dimensión infinita sea homeomorfo a su esfera unitaria, así que $W$ es homeomorfo a $F$ y, por lo tanto $U \cong W \times (\ker S) \cong F \times (\ker S) \cong E$ .)
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Sea $F = (\ker S)^{\perp}$ y $M$ la esfera unitaria de $F$ . En $M$ define $r(x) = \sqrt{\langle Sx,x\rangle}$ y considerar el espacio $W = \{ x/r(x) : x \in M\}$ .
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@DanielFisher Tal vez sea una pregunta tonta... Necesitamos tener $S$ ¿Continuo?
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@mathcounterexamples.net Es un operador lineal acotado por lo tanto continuo.
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¿Limitado porque simétrico?
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@mathcounterexamples.net Normalmente, $\mathcal{L}(E)$ denota el espacio de operadores lineales continuos en $E$ y $\mathcal{L}^+(E)$ el subespacio de semidefinidos positivos autoconjuntos (la autoconjunción se deduce de $\langle Sx,x\rangle \in \mathbb{R}$ para espacios de Hilbert complejos), por lo que la acotación forma parte de la definición. Sin embargo, como eso no se ha dicho explícitamente aquí, podemos -como has sugerido- utilizar el teorema de Hellinger-Toeplitz para deducir la continuidad de $S$ .
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@DanielFischer Según tu comentario $U$ ¿está siempre conectado?
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A menos que pertenezcas a esas personas que consideran $\varnothing$ a desconectar. Entonces tendría que excluir $S = 0$ .
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@DanielFischer Gracias. Sí $S$ no es igual a cero. Espero que escribas tu comentario como respuesta