¿intuición detrás de la ciclicidad del rastro?

Question

La traza de un producto matricial es "conmutativa" (es decir, cíclica): $$\operatorname{trace}(AB)=\operatorname{trace}(BA)$$

Sé cómo demostrarlo. Me preguntaba, ¿hay alguna forma intuitiva de entender por qué esto debe ser cierto? Una de las razones por las que no lo veo intuitivamente es que realmente no entiendo intuitivamente lo que representa el trazo (por ejemplo, geométricamente).

Answer 1

Enfoque nº 1: densidad

En primer lugar, tenga en cuenta que $AB$ y $BA$ son conjugados si $A$ o $B$ es invertible, y las matrices conjugadas tienen la misma traza (por ejemplo, porque la traza es la suma de los valores propios). Pero el subespacio de matrices $(A, B)$ de forma que $A$ o $B$ es invertible es denso en el espacio de todas las matrices (esto es cierto con respecto a varias topologías; la topología habitual sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ y el Topología de Zariski sobre cualquier campo), lo que significa que la identidad debe cumplirse en general.

Ver también esta respuesta para otras aplicaciones de esta idea.

Este enfoque puede ser un poco circular porque, dependiendo de sus definiciones, la forma más fácil de demostrar que la traza de dos matrices conjugadas es la misma podría ser demostrar que $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ . He aquí una definición que no presenta este problema: si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces $\text{End}(V)$ puede identificarse de forma natural con el producto tensorial $V^{\ast} \otimes V$ y entonces la traza de un endomorfismo viene dada por la aplicación del par dual $V^{\ast} \otimes V \to k$ ( $k$ el campo subyacente).

Enfoque nº 2: factores determinantes

Una forma de definir la traza es que es el coeficiente lineal del polinomio característico $\det (tI - A)$ . Esta es una buena definición por varias razones, incluyendo que es manifiestamente invariante bajo conjugación (una vez que sabes que los determinantes son invariantes bajo conjugación). Entonces se puede demostrar, de varias maneras, el hecho más fuerte de que $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico, lo que implica que tienen la misma traza (y es equivalente a la afirmación de que tienen los mismos valores propios, con las mismas multiplicidades). Véase esta entrada del blog para las pruebas y la discusión.

Este enfoque sugiere que una intuición para la traza es que se trata de la derivada del determinante, convenientemente interpretada.

Enfoque nº 3: diagramas de cadenas

Esta prueba es la que implica más teoría de categorías, pero también podría decirse que es la más bella. La idea intuitiva es pensar que tomar la traza es como "retroalimentar un operador lineal dentro de sí mismo", así que parece como colocar un operador lineal en un círculo en cierto sentido, y entonces la ciclicidad se sigue de rotar el círculo. Este argumento puede hacerse totalmente riguroso; véase esta entrada del blog y esta entrada del blog para ver las imágenes correspondientes. Tras establecer la notación adecuada y demostrar varios lemas, la prueba de la ciclicidad de la traza tiene este aspecto:

Entre otras cosas, el enfoque #3 sugiere fuertemente que el nombre correcto para esta propiedad es ciclicidad y no conmutatividad, porque indica claramente que hay una generalización a la simetría cíclica para más de $2$ matrices: por ejemplo $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(CAB)$ pero es no en general igual a $\text{tr}(BAC)$ .