La medida de Lebesgue de la frontera de un dominio simplemente conectado

Question

¿Es la medida de Lebesgue de la frontera de un dominio simplemente conectado en $\mathbb{R}^n$ necesariamente 0?

Acturally, quiero saber la condición suficiente para garantizar que la medida de la frontera de un dominio es $0$.

Answer 1

Tomar un conjunto de Cantor grasa, $C\subset \mathbb{R}$, es decir, un conjunto cerrado con vacíela interior medida distinto de cero. Entonces considere el conjunto de $$\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y <0\} \cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\geq 0, x \notin C\}.$ $

Este conjunto parece abierto, simplemente conectado y con límite $C \times [0,\infty)$.

Answer 2

Tim kinsella la respuesta es realmente bueno, aquí es otra sugerencia (más complicada).

Simplemente tome una enfermedad de Osgood curva (= Jordania arco de positivos área)

• Este es un arco (imagen continua de $[0,1]$ en el avión), por lo que simplemente se conecta, y cerrado.

• También es un no de intersección de la curva (un arco es la imagen de una función inyectiva), por lo que ha vacío interior (ver este o este, la prueba es fácil)

• Por lo tanto el límite de la enfermedad de Osgood curva es la curva de sí mismo, por lo que tiene medida positiva.

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Véase, por ejemplo, este paso a paso de la construcción de una enfermedad de Osgood curva (por Knopp, en Wolfram demonstrations).