Muestra que $e^{1-n} \leq \frac {n!}{n^n}$

Question

¿Cómo puedo mostrar eso por un $n \in \mathbb N$

$$e^{1-n} \leq \frac {n!}{n^n}$$

Intenté usar el teorema del binomio así

$$n^n \le (1+n)^n = \sum_ {k=0}^n \binom nk n^k \le \sum_ {k=0}^ \infty \binom nk n^k = \sum_ {k=0}^ \infty \frac {n!}{k!(n-k)!} n^k \le \sum_ {k=0}^ \infty \frac {n!}{k!} n^k = n! \sum_ {k=0}^ \infty \frac {n^k}{k!} = n! \cdot e^n$$

lo que me daría

$$ \frac {1}{e^n} \le \frac {n!}{n^n}$$

Pero me falta el factor de $e$ en el lado izquierdo. ¿Puedes darme una pista?

Answer 1

\begin {alineado*} n^{n}=(1+(n-1))^{n} \leq n! \sum_ {k=0}^{ \infty } \dfrac ¡K! ¡K! ¡n! \cdot e^{n-1}. \end {alineado*}

Answer 2

Usando la inducción vemos que para $n=1$ la desigualdad se mantiene. Supongamos que se mantiene para algún número $k$ .

Entonces, usando $ \left (1+ \frac1k\right )^k<e$ encontramos que

$$ \begin {align} \frac {(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}&= \frac {k!}{k^k \left (1+ \frac1k\right )^k} \\\\ & \ge \frac {e^{1-k}}{e} \\\\ &=e^{1-(k+1)} \end {align}$$

¡Y hemos terminado!

Answer 3

Pista: $$ \frac { \frac {(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{ \frac {n^n}{n!}}= \left (1+ \frac1n\right )^n \lt e $$

Answer 4

Tengan en cuenta que

$$e^{1-n} \leq \frac {n!}{n^n} \iff \frac {e^nn!}{n^n} \geq e$$

eso es cierto $ \forall n$ de hecho

$$n=1 \implies \frac {e^11!}{1^1} \geq e$$

y

$$ \frac {a_{n+1}}{a_n}= \frac {e^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac {n^n}{e^nn!}= \frac {e}{ \left (1+ \frac1n\right )^n}>1$$