Una curva elíptica $x(x - 78126^2)(x - 4\times5^7) = y^2$ $x_1^7+x_2^7+\dots +x_8^7= x_9^7$

Question

Ajai Choudhry encontrado un número infinito de primitivas soluciones,

$$x_1^7+x_2^7+\dots +x_8^7= x_9^7$$

mediante el uso de una curva elíptica con un parámetro de $m=2$. Hay variantes, la que yo he utilizado es,

$$x(x - 129^2) (x - 4\times2^7) = y^2\tag1$$

He probado el online de Magma y, después de algún tiempo, se encuentra un punto racional,

$$x =\Bigl(\frac{48010029072}{224312161}\Bigr)^2$$

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Dave Rusin años sugirió $m=5$,

$$x(x - 78126^2) (x - 4\times5^7) = y^2\tag2$$

La línea de Magma se limita sólo a los 120 segundos, e interrumpió su cálculo. Tenga en cuenta que el cambio de $x = u+78126^2$ transforma $(2)$ a la más simétrica,

$$u(u+78124^2)(u+78126^2) = y^2$$

En general, las curvas de la forma,

$$u\big(u+(a-1)^2\big)\big(u+(a+1)^2\big) = y^2$$

tener al menos cinco puntos de torsión,

$$u = 0,\quad -(a-1)^2,\quad -(a+1)^2,\quad \tfrac{(a - 1)^2 + (a + 1)^2}{2}-2,\quad -\,\tfrac{(a - 1)^2 + (a + 1)^2}{2}+2$$

Q: ¿$(2)$ realmente tienen otra solución racional, otra de sus cinco entero de torsión puntos?

Answer 1

El punto de la curva

$$u(u+78124^2)(u+78126^2)=z^2$$

tiene $u$-coordenadas\begin{equation} u=\frac{-2^2*43^2*229^2*449*19531^2*36965783^2*24591784649^2}{3^2*61^2* 518245943877809163227^2} \end{equation}

Encontré este usando mi Pari-software de cosecha propia y una versión antigua de mwrank de Cremona. La altura del punto es de aproximadamente 51.9/103.8 (dependiendo de que normalización de altura te gusta).

El % de puntos de orden $4$tiene una fórmula más simple, es decir, $u=\pm (1-a^2)$.

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Lo que implica,

$$x(x - 78126^2)(x - 4\times5^7)=y^2$$

tiene punto de racional,

$$x = \Bigl(\frac{1115500181050003597405480\sqrt{2245}}{94839007729639076870541}\Bigr)^2$$

Answer 2

(Este es un apéndice de MacLeod la respuesta y en donde tengo que curva elíptica.)

A ver cómo utilizar MacLeod la solución para encontrar una infinidad de ocho $7$th poderes, equivalente a un $7$th de energía, ampliar la expresión, $$F(x) = (x+a)^7+(x-a)^7+(mx+b)^7+(mx-b)^7\\-(x+c)^7-(x-c)^7-(mx+d)^7-(mx-d)^7$$

y la recolección de los poderes de $x$,

$$F(x) = 42(a^2+m^5b^2-c^2-m^5d^2)x^5 + 70(a^4+m^3b^4-c^4-m^3d^4)x^3 + 14(a^6+mb^6-c^6-md^6)x$$

Nos deshacemos de la $x^5$ $x^3$ términos encontrando $a,b,c,d,m$ de manera tal que,

$$a^2+m^5b^2=c^2+m^5d^2\tag1$$ $$a^4+m^3b^4=c^4+m^3d^4\tag2$$

y sólo el término lineal es de la izquierda. Desde $x$ es arbitrario, vamos a $x = 14^6(a^6+mb^6-c^6-md^6)^6 N$. Por lo tanto, lo que queda es,

$$F(x) = 14^7(a^6+mb^6-c^6-md^6)^7 N$$

para arbitrario $N=t^7$.

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Deje $\color{blue}{m=5}$. El uso de Brahmagupta de la identidad,

$$(p r + m q s)^2 +m(-q r + p s)^2 = (p r - m q s)^2 +m(q r + p s)^2$$

eq. $(1)$ es fácil de resolver como,

$$a,\;b,\;c,\;d = p r + 3125 q s,\; -q r + p s,\; p r - 3125 q s,\; q r + p s$$

y eq. $(2)$ se convierte,

$$(25 p^2 - q^2) r^2 = (p^2 - 5^{12} q^2) s^2\tag3$$

Sin pérdida de generalidad, vamos a $q=1$. Para solucionar $(3)$, debe ser,

$$(25 p^2 - 1)(p^2 - 5^{12} ) = w^2$$

Asumir que se trata de la plaza,

$$(25 p^2 - 1)(p^2 - 5^{12} ) = \big(5p^2 + (-x/10 + 5^6)\big)^2\tag4 $$

Ampliar a obtener, $$100 p^2 (x - 78126^2) = x(x - 4\times5^7)$$ Por lo tanto, la curva elíptica, $$x(x - 78126^2)(x - 4\times5^7)=y^2\tag5$$

con MacLeod la solución de

$$x = \Bigl(\frac{1115500181050003597405480\sqrt{2245}}{94839007729639076870541}\Bigr)^2$$

Volver sobre los pasos y la escala, entonces se puede obtener entero $p,q,r,s$,

$$p =26495849279233847921447334543677665845247100\\ q =848947621992638248200474987563356720299231909\\ r =626004927447821946628577048253429765183543983525\\ s =39573486494385206930358492946164451904255363$$

a continuación, $a,b,c,d$ $93$dígitos enteros para resolver $(1),(2)$$m=5$. Esto implica $F(x)$ son enteros con al menos $93\times6\times7 \approx 3900$ dígitos.