La parte entera de una secuencia

Question

Estaba tratando de resolver la siguiente suma:

$$a_1=\sqrt[3]{24}$$ $$a_{n+1}=\sqrt[3]{(a_n+24)},n\ge1$$ $Find\,the\,integer\,part\,of\,a_{100}$

Procedí de esta manera:

$$a_1^3=24$ $ $$a_2=\sqrt[3]{a_1+a_1^3}$ $ $$a_2^3=a_1+a_1^3$ $ del mismo modo, $$a_3^3=a_2+a_1^3=a_1+2a_1^3$ $ $$a_4^3=a_1+3a_1^3$ $ $$\ldots$ $ $$a_{100}^3=a_1+99a_1^3$ $ que me debe dar la respuesta, pero estoy encontrando un dilema en la parte donde tengo que bajar el número a su tercera raíz antes de aplicar la función entero mayor. Agradeceria un poco de ayuda con esto / un nuevo método de hacer lo mismo.

Answer 1

$a_1<3$ % entonces $a_2=\sqrt[3]{a_1+24}<\sqrt[3]{3+24}=3$.

Demostrar que $a_n<3$ por inducción. Supongo que para $n=k$: $a_k<3$ y $a_{k+1}=\sqrt[3]{a_k+24}<\sqrt[3]{3+24}=3$. Así $a_{100}<3$ $a_{100}>2$ por eso $[a_{100}]=2$.