Probabilidad de un Full para una mano de cinco cartas.

Question

Así que sé que esto se puede resolver fácilmente contando el total de formas de hacer un full y dividiendo eso por el total de manos posibles, pero quiero saber por qué otra forma que se me ocurrió para resolverlo está mal.

Mi cálculo es: $$1 \times \frac{3}{51} \times \frac{2}{50} \times \frac{48}{49} \times \frac{3}{48} \times 5!$$

Para desglosar esto, la primera carta puede ser cualquiera. La segunda carta debe ser el mismo número que la primera ( $\frac{3}{51}$ ) y la tercera carta debe ser también del mismo número ( $\frac{2}{50}$ ). La cuarta carta puede ser cualquiera de la baraja con la excepción de cualquier carta que forme un 4-de-uno-tipo ( $\frac{48}{49}$ ). Y la quinta carta debe ser el mismo número que la cuarta carta ( $\frac{3}{48}$ ).

Como el orden no debería importar en una mano de cartas, multiplico esta probabilidad por $5!$ .

No consigo averiguar en qué me he equivocado, pero evidentemente esto no me da la respuesta correcta. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar mi error?

Answer 1

Tienes razón en que tu lógica inicial subestima la cuenta, pero la corrección de $5!$ es demasiado alto. De hecho, el factor correcto de ajuste es $10.$

Antes de multiplicar incorrectamente por $5!$ , calculas correctamente la probabilidad de obtener el patrón (xxx)(yy) (espero que esté claro lo que quiero decir con esto). Por supuesto, éste no es el único patrón con el que puede salir un pleno. También puede ser como (yy)(xxx), o (y)(xxx)(y), etc. La forma de obtener la respuesta sería calcular la probabilidad de todos estos patrones que constituyen un pleno, y puesto que son las formas mutuamente excluyentes de obtener un pleno, simplemente sumarlas para obtener la probabilidad de un pleno.

Por supuesto, la probabilidad es la misma para todos los patrones (aunque tal vez quieras hablarte de uno raro como (x)(y)(x)(y)(x) para asegurarte de que es obvio por qué debe ser el mismo que para tu elección). Así que sólo es cuestión de contar todos los patrones. Bien, hay cinco puntos y tienes que elegir tres para que sean x, así que eso es ${5\choose 3} = 10.$

Al multiplicar por $5!$ olvidaste que ya habías tenido en cuenta las permutaciones de las cartas que sólo intercambian las x y las y entre sí. Después de todo, $(1)(3/51)(2/50)$ es la probabilidad correcta de sacar tres iguales en una mano de tres cartas... no se multiplicaría por $3!.$

Answer 2

Porque la segunda tarjeta no Necesito para ser otra carta en el triplete. Puede ser cualquier otro carta de la baraja, que inicia la construcción de la pareja. Asimismo, en cada paso, no Necesito para formar parte de la pareja o necesita para ser parte del triplete, necesita ser parte de {el par o el triplete}.

Answer 3

Tus fracciones iniciales son correctas, pero has ajustado demasiado. Si tienes la respuesta, te darías cuenta de que estás desviado por un factor de 12. Para esta respuesta, voy a llamar a las dos cartas iguales como pareja, y a las tres cartas iguales como grupo de tres.

El número total de formas de reorganizar un pleno específico es en realidad $5 \choose 2$ , no $5!$ . Esto se debe a que está reordenando dos elementos idénticos, con otros tres elementos idénticos, no cinco elementos diferentes. El resultado sería $5 \choose 2$ , ya que usted es elegir dos plazas para la pareja, de cinco total de plazas.

También puedes pensarlo así, $5!$ cuenta de más porque al intercambiar las posiciones de los dos elementos emparejados no cambia nada de su mano. Por ejemplo, si tu mano es $JJ555$ intercambiando los dos $J$ es redundante. Esto hace que se cuente en exceso por un factor de dos. Si se hace lo mismo con el grupo de tres, se obtendrá $\frac{5!}{2*6}$ que es el mismo resultado que el anterior.