Suma geométrica infinita (pedir discernimiento en una solución más fácil)

Question

Deje que la secuencia de $F$ se define como: $F_1=F_2=1$$F_n=2F_{n-1}+F_{n-2}$$n>2$. Evaluar $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{10^n}$.

La solución obvia consiste en resolver por la fórmula explícita para $F$ (utilizando el estándar lineal de la recurrencia de la técnica): $F_n=(\frac{\sqrt{2}-1}{2})(1+\sqrt{2})^n-(\frac{\sqrt{2}+1}{2})(1-\sqrt{2})^n$. A continuación, podemos dividir la suma en dos series geométricas infinitas. El cálculo es molesto, pero no obstante sencillo.

Me preguntaba si hay alguna solución más fácil de resolver para una fórmula explícita para $F$. Tal vez hay uno que solo necesita de la definición recursiva? Cualquier comentario es apreciado.

Answer 1

Definir $S=\Sigma_{n=1}^{\infty}{{F_n}\over{10^n}}$.

Para probar que $S$ existe, tenga en cuenta que $F_n$ está aumentando terminantemente desde $F_1,F_2>0$. Por lo tanto podemos obtener que $F_n=2F_{n-1}+F_{n-2}\le 3F_{n-1}$. Ahora definir $b_n={{F_n}\over{10^n}}$ así conseguimos aquí: %#% $ de #% que implica sobre la convergencia según el "test de cociente de d ' Alembert"

Después de probar convergencia tenemos: $${{b_{n+1}}\over{b_n}}={{F_{n+1}}\over{10F_n}}\le0.3<1$ $

Answer 2

Por supuesto, alguien tiene que demostrar que $A=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{10^n}$ existe. (Por ejemplo, probar $F_n\le 3^n$.) la inducción

Sin embargo, una vez que prueba que, el cálculo es sencillo:

$$0=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_{n+2}-2F_{n+1}-F_n}{10^n}=100\sum_{n=3}^{\infty}\frac{F_n}{10^n}-20\sum_{n=2}^{\infty}\frac{F_n}{10^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{10^n}=100\left(A-\frac{1}{10}-\frac{1}{100}\right)-20\left(A-\frac{1}{10}\right)-A$$

Así, $79A=9$ o $A=\frac{9}{79}$.

Answer 3

Utilizar el método de generación de funciones. deje $F_n=0$$n<0$. En primer lugar hacer la recurrencia válido para todos los $n\geq 0$. Sustituyendo $2$ en la recurrencia de los rendimientos que $F_0=-1$. La recurrencia $$ F_n=2F_{n-1}+F_{n-2}+3\delta_{n,1}-\delta_{n,0}\quad (n\geq 0)\etiqueta{1} $$ donde $\delta$ es la delta de Kronecker es válido para $n\geq 0$. Multiplicar ambos lados por $x^n$ y la suma de $n$ para conseguir que $$ F(x)(1-2x-x^2)=3x-1\implica F(x)=\frac{3x-1}{1-2x-x^2}\etiqueta{2} $$ donde $F$ es la generación de la función asociada con $F_n$ es decir $ \sum_{n=1}^{\infty}F_n x^n. $ Hasta este punto podemos considerar $F$ como un poder formal de la serie o como una analítica de la función. De hecho, $F$ tiene un valor distinto de cero radio de convergencia (de hecho, a partir de las raíces del denominador converge para $|x|<(1+\sqrt{2})^{-1}$ y $0<1/10<(1+\sqrt{2})^{-1}$). Por lo tanto $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{10^n}=F(1/10)+1=1-\frac{70}{79}=\frac{9}{79}.\la etiqueta{3} $$

Answer 4

\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty\frac{F_n}{10^n}&=\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\sum_{n=3}^\infty\frac{F_n}{10^n}\\ &=0.11+\sum_{n=3}^\infty\frac{2F_{n-1}+F_{n-2}}{10^n}\\ &=0.11+\frac{2}{10}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{F_n}{10^n}-\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{100}\sum_{n=1}^\infty\frac{F_n}{10^n}\\ 0.79\sum_{n=1}^\infty\frac{F_n}{10^n}&=0.09\\ \sum_{n=1}^\infty\frac{F_n}{10^n}&=\frac{9}{79} \end{align*}

Answer 5

$$S=\sum_{n=1}^{\infty} x^n F_n=xF_1+x^2 F_2+ \sum_{n=3}^{\infty} x^n F_n=$$ $$=x+x^2+\sum_{n=3}^{\infty} x^n (2F_{n-1}+F_{n-2})=$$ $$=x+x^2 +2x\sum_{m=2}^{\infty}x^m F_m+x^2\sum_{m=1}^{\infty}xF_m=$$ $$=x+x^2 + 2x(S-xF_1)+x^2S=x+x^2+2x(S-x)+x^2S.$$ $$\text {Therefore } \quad S(1-2x-x^2)=x+x^2-2x^2=x-x^2.$$ When $x=0.1$ this implies $S (0,79) = 0.09. $