¿Cómo consiguen esta ecuación comparando tres cocientes?

Question

Yo estaba leyendo de un viejo libro de texto de matemáticas. Se estaba dando algunos ejemplos sobre cómo resolver el problema de proporciones. Me topé con este ejemplo y se sentía perplejo después de leer sólo una parte de ella.

Se nos ha dado esta ecuación.

$$\frac{x}{l(mb+nc-la)} = \frac{y}{m(nc+la-mb)} = \frac{z}{n(la + mb - nc)}$$

Y pide demostrar que

$$\frac{l}{x(by + cz - ax)} = \frac{m}{y(cz+ax-by)} = \frac{n}{z(ax + by -cz)}$$

Comienza por hacer esto:

$$\frac{\frac{x}{l}}{mb + nc - la} = \frac{\frac{y}{m}}{nc + la - mb} = \frac{\frac{z}{n}}{la + mb -nc}$$

Lo que yo entiendo. Entonces, él va a decir:

Tenemos $$\frac{\frac{x}{l}}{mb + nc - la} = \frac{\frac{y}{m}}{nc + la - mb} = \frac{\frac{z}{n}}{la + mb -nc}$$

$$= \frac{\frac{y}{m} + \frac{z}{n}}{2la}$$ Estas son expresiones similares. $$\therefore \frac{ny + mz}{a} = \frac{lz + nx}{b} = \frac{mx + ly}{c}$$

Esta es la parte de la prueba de que no entiendo. ¿Cómo ha de ir de $= \frac{\frac{y}{m} + \frac{z}{n}}{2la}$ $\frac{ny + mz}{a} = \frac{lz + nx}{b} = \frac{mx + ly}{c}$? Y, además, ¿qué quiere que estos son "expresiones similares."

El libro que estoy leyendo se llama Álgebra Superior de una Secuela de Álgebra básica para las Escuelas de Henry Sinclair y Samuel Ratcliff Caballero.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

El truco es

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \implies \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$$

$$A=\frac{\frac{x}{l}}{mb + nc - la} = \frac{\frac{y}{m}}{nc + la - mb} = \frac{\frac{z}{n}}{la + mb -nc}$$

Utilizar cada dos términos $$A = \frac{\frac{x}{l} + \frac{y}{m}}{2nc} = \frac{\frac{x}{l} + \frac{z}{n}}{2mb} = \frac{\frac{y}{m} + \frac{z}{n}}{2la}$ $

Entonces llega naturalmente al final.

Answer 2

Escriba a continuación $$t=\frac{\frac xl}{mb+nc-la}=\frac{\frac ym}{nc+la-mb}$ $$\frac xl=t(mb+nc-la)$ $ $ y $$\frac ym=t(nc+la-mb).$ $ agregando el $$\frac xl+\frac ym=2tnc$ $, etcetera.

Answer 3

Se sabe eso si $\frac {a_1}{b_1} = \frac {a_2}{b_2} = \frac {a_3}{b_3}=t$ y $\frac {a_1 + a_2}{b_1 + b_2}=\frac {a_1 + a_3}{b_1 + b_3}=\frac {a_2 + a_3}{b_2 + b_3}=\frac {a_1 + a_2 + a_3}{b_1 + b_2 + b_3}=t$