¿Es la función T $\mathbb R$-lineal?

Question

¿Que $T:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ ser una asignación tal que $T(C)$ es un conjunto convexo en $\mathbb R^2$ $C$ es convexo en $\mathbb R^2$ y $T(0,0)=(0,0).$ es $T$ $\mathbb R$-lineal?

Tenemos que mostrar aquí que $T(ax+by)=aT(x)+bT(y)$ % todo $a,b\in \mathbb R$y $x,y\in \mathbb R^2.$

Cualquier ayuda es apreciada. Gracias.

Answer 1

Ejemplo de mapa de $T$ no es necesariamente $\mathbb{R}$-lineal. A ver que considerar el siguiente contraejemplo.

Deje $\pi_x : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} : (x, y) \mapsto x$ $x$- coordinar la proyección en $\mathbb{R}$, $e_x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 : x \mapsto (x, 0)$ la "canónica de la incrustación" de la $x$-coordinar en $\mathbb{R}^2$, $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto \begin{cases} \sin(\frac{1}{x}) &,& x \neq 0 \\ \hfill 0 \hfil &,& x = 0 \end{cases}$$ y $$T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 : (x, y) \mapsto e_x \circ f \circ \pi_x(x,y) = (f(x), 0 )$$

Por definición, $T(0,0) = (0,0)$.

Ahora vamos a $C \subseteq \mathbb{R}^2$ convexo. A continuación, $\pi_x(C) \subseteq \mathbb{R}$ es convexa.

Desde conjuntos convexos de $\mathbb{R}$ son intervalos y $f$ mapas intervalos de intervalos, se deduce que el $f \circ \pi_x(C) \subseteq \mathbb{R}$ es convexa.

Por lo tanto, $T(C) = e_x \circ f \circ \pi_x(C) \subseteq \mathbb{R}^2$ es convexa.

Pero $T$ es claramente no $\mathbb{R}$-lineal.

Answer 2

En el libro Analíticas y Computacionales Matemáticas, Springer 2013, Knecht y Vanderwerff de probar en el Teorema de 21.3 en la página 458ff la siguiente:

Deje $X$ $Y$ ser de cualquiera de los espacios de Banach donde $X$ contiene dos linealmente independientes los vectores. Supongamos $T:X\to Y$ es un continuo y uno-a-una asignación tal que $T$ mapas de conjuntos convexos en conjuntos convexos. A continuación, $T$ es afín.

Ahora su $T$ es realmente lineal debido a $T(0)=0$. Así que la respuesta es SÍ , siempre que $T$ es uno-a-uno y continuo. Nota que la asunción de uno-a-uno es razonable, de lo contrario sólo podría enviar todo al vector cero.