Llevar las entradas de la matriz a se $A = (a_{ij})_{n \times n}$
Tenga en cuenta que el sistema lineal de equaltions:
$$a_{i1} + \sum\limits_{j=2}^{n} a_{ij}x_j= 0,\qquad i = 2,3,\cdots, n$$
tiene solución única, decir $(x_2,x_3,\cdots, x_n)$ (por la condición dada en $A$ se deduce que el determinante del sistema es no singular, por Girschgorin Teorema).
Por eso, $$\begin{align}-a_{ii}x_i = a_{i1}+\sum\limits_{j=2,j \neq i}^{n} a_{ij}x_j &\implies |a_{ii}| \le \frac{|a_{i1}|}{|x_i|} +\sum\limits_{j=2,j \neq i}^{n} |a_{ij}|.\frac{|x_j|}{|x_i|}\\&\implies |a_{i1}| +\sum\limits_{j=2,j \neq i}^{n} |a_{ij}| < \frac{|a_{i1}|}{|x_i|} +\sum\limits_{j=2,j \neq i}^{n} |a_{ij}|.\frac{|x_j|}{|x_i|}\\&\implies \max_{2 \le i\le n} |x_i| < 1\end{align}$$
Ahora, considere el factor determinante $\det \Delta_1$ del sistema y añadir el $j^{th}$ columna multiplicada por $x_j$ a la primera columna para cada una de las $j = 2,3,\cdots, n$.
Por lo tanto, el determinante $\det \Delta_1$ se convierte en:
$$\det \Delta_1 = \left(a_{11}+\sum\limits_{j=2}^{n} a_{1j}x_j\right).\det \left(\begin{matrix} a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right) = \left(a_{11}+\sum\limits_{j=2}^{n} a_{1j}x_j\right) \times \det \Delta_2$$
Ya, $|x_j| < 1$ por cada $j = 2(1)n$, tenemos:
$$|\det \Delta_1| \ge \left(|a_{11}|-\sum\limits_{j=2}^{n} |a_{1j}|\right).|\det \Delta_2|$$
De nuevo $\det \Delta_2$ también es diagonalmente dominante, por lo que la conclusión se deduce por inducción.
