"Entre cada dos números racionales existen infinitos números irracionales y entre cada dos números irracionales hay infinitos números racionales.
¿Es correcta esta afirmación? ¿Si es así, entonces no se contradice a la continuidad de la función de Thomae en números irracionales?
Entre cada dos distintas racional/irracional números hay infinitamente muchos irracional/números racionales [respectivamente] - esto es cierto.
Pero esto no contradice la continuidad de Thomae de la función en el irracional puntos. En un número irracional $r$ el valor de la función es $0$. En las cercanías de los números racionales el valor es distinto de cero, pero por restringir el intervalo de $(r-\delta,r+\delta)$ hacer $\delta$ suficientemente pequeño, podemos asegurarnos de que la única racionales en el intervalo de tener denominador $q\gt \frac 1{\epsilon}$, de modo que el valor de la función en cada uno de los infinitos puntos racionales en el intervalo es tan pequeño como queramos.
"Entre cada dos números racionales existen infinitos números irracionales y entre cada dos números irracionales existen infinitos números racionales."
Esta afirmación es cierta.
Sabemos que, entre dos números racionales $\frac{a}{b}$ $\frac{c}{d}$ $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ podemos encontrar un tercer número racional. Una forma sería la de definir el tercer racional como $$\frac{a}{b}+\frac{1}{2}\left( \frac{c}{d} - \frac{a}{b} \right) = \frac{bc+ad}{2bd}.$$ Este proceso se puede repetir para generar una infinita cantidad de números racionales entre $\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$.
También podemos encontrar un irracional entre dos racionales. De nuevo el uso de $\frac{a}{b}$$\frac{c}{d}$, establecer un común denominador, lo que nos deja con $\frac{ad}{bd}$$\frac{cb}{bd}$. Desde $a$, $b$, $c$, y $d$ son enteros y $ad<cb$, sabemos que $ad+1 \leq cb$. Deje $q = \frac{\sqrt{2}}{2} <1$. De ello se sigue que $$\frac{ad}{bd} < \frac{ad+q}{bd} < \frac{cb}{bd}.$$ Así, podemos encontrar un irracional entre dos números racionales.
La combinación de estos dos hechos, vemos que la primera mitad de la frase, "entre cada dos números racionales existen infinitos números irracionales", es cierto. La segunda mitad de la siguiente manera muy similar a la lógica.
Muchas pruebas de este hecho se basan en la densidad de los racionales y irrationals en los reales. En este contexto, un conjunto $S$ de los números es denso en $\mathbb{R}$ si, para cada intervalo de $I=(a,b)$ donde $a<b$, $I$ contiene un elemento de $S$. Que se ejecutará en esta si haces cualquier leer más sobre el tema.
En cuanto a tu pregunta acerca de Thomae de la función, su enlace de Wikipedia ya incluye un escrito claramente informal de la prueba de continuidad en el irrationals. No sé su actual nivel de conocimientos, por lo que si el siguiente es demasiado simple, por favor perdóname.
Con el fin de entender el sector informal de la prueba en su enlace, usted tendrá que saber que $\lceil x \rceil$ $\lfloor x \rfloor$ se refieren a la del techo y del piso funciones. Usted también tendrá la epsilon-delta definición de un límite. Después de eso, el sector informal de la prueba es bastante accesible.
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