Menos número de no-cero de los coeficientes para describir un polinomio de grado n

Question

Yo estaría muy agradecido por una buena referencia en este, se siente como un clásico de la asignatura, sin embargo no podía encontrar mucho acerca de él.

Polinomios en una variable de la forma $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0$ puede ser transformado en simples expresiones. Por ejemplo, que al parecer es bien conocido que la transformación de Tschirnhaus permite llevar cualquier quintic en las denominadas Bring-Jerrard forma $x^5+ax+b$, mientras que para el grado 6 que uno necesita al menos tres coefficents $x^6+ax^2+bx+c$.

Hay un nombre para tal "generalizada Traer-Jerrard forma", y lo que se sabe acerca de esto? En particular, existe un críptica nota a pie de página de Arnold (en la página 3 de esta conferencia), donde dice más o menos que los grados para los que más los coeficientes son necesarios producen a lo largo de "una extraña secuencia infinita": podría alguien por favor describa lo que los grados son (eché un vistazo a la OEIS, pero creo que la secuencia es diferente a la de Hamilton números, y no podía encontrar un relevante).

Answer 1

Usted puede tener una mirada en el Polinomio de la transformación de Tschirnhaus, Traer y Jerrard. Se da más explícito detalle en qué se pueden quitar los tres primeros términos después de que el líder plazo (que abarca los casos de grado 5 y 6 que menciono más arriba), pero concentrado en grado 5.

Hamilton 1836 papel en Jerrard original de la obra tiene una elemental explicación de la técnica (la mayor parte del papel se concentra en mostrar que ciertas otras reducciones Jerrard propuesto, incluyendo un general de grado 6 polinomio de grado 5, "ilusorio"). También explica Jerrard el truco para la eliminación de la 2ª, 3ª y 5ª términos. Finalmente, Jerrard tiene un método para eliminar el segundo y cuarto términos, mientras que la tercera y la quinta parte de los coeficientes en cualquier relación especificada: esto sólo funciona en el grado 7 o superior (Jerrard había pensado erróneamente que esto funcionó en general, y por lo tanto resuelto el general quintic por la reducción de de Moivre la forma soluble -- todo esto es anterior a la de Abel trabajo!)

Si por el "Bring-Jerrard" formulario usted acaba de decir un cierto número de los primeros términos (después de la primera) se han eliminado, luego el de Hamilton, números vinculados a son, de hecho, exactamente lo que usted desea.

Answer 2

La noción moderna de la dimensión esencial de un grupo se da de un modo preciso a estado a tu pregunta (y generalizaciones), y hay algunos trabajos recientes ampliar el trabajo mencionado en la de Scott respuesta. Para empezar, consulte el artículo

J. Buhler y Z. Reichstein, En la dimensión esencial de un grupo, de Naturaleza Matemática. 106 (1997), 159-179.

Por ejemplo, se demostró allí que para polinomios de grado $n$, al menos $\lfloor n/2 \rfloor$ coeficientes son necesarios. (Esto está de acuerdo con lo que usted ha mencionado para$n=5$$n=6$.)