Una identidad de función gamma

Question

Me da la impresión de que lo siguiente es cierto (al menos para todos los positivos $\lambda$ - puede ser incluso cierto para cualquier complejo $\lambda$ )

$$ \left\lvert \frac{\Gamma(i\lambda + 1/2)}{\Gamma(i\lambda)} \right\rvert^2 = \lambda \tanh (\pi \lambda) $$

Sería genial si alguien puede ayudar a derivar esto.

Answer 1

Utilizando el Fórmula de reflexión de Euler $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z},$$ obtenemos (para real $\lambda$ ) \begin {align} \left | \frac { \Gamma\left ( \frac12 +i \lambda\right )}{ \Gamma (i \lambda )} \right |^2&= \frac { \Gamma\left ( \frac12 +i \lambda\right ) \Gamma\left ( \frac12 -i \lambda\right )}{ \Gamma (i \lambda ) \Gamma (-i \lambda )}= \\ &=(-i \lambda ) \frac { \Gamma\left ( \frac12 +i \lambda\right ) \Gamma\left ( \frac12 -i \lambda\right )}{ \Gamma (i \lambda ) \Gamma (1-i \lambda )}= \\ &=(-i \lambda ) \frac { \pi / \sin\pi\left ( \frac12 -i \lambda\right )}{ \pi / \sin\pi i \lambda }= \\ &=-i \lambda\frac { \sin \pi i \lambda }{ \cos\pi i \lambda }= \\ &= \lambda \tanh\pi \lambda. \end {align} Esto no será así si $\lambda$ es complejo.