¿es posible contar el número de números racionales que hay entre dos enteros cualesquiera?

Question

Estoy teniendo problemas en esto ¿puede alguien ayudarme?

¿es posible contar el número de números racionales que hay entre dos enteros cualesquiera?

Answer 1

Depende de lo que entiendas por "contar", y de lo mucho que sepas sobre la cardinalidad infinita.

Hay infinitos números racionales entre dos enteros cualesquiera. Ese conjunto de números racionales, sin embargo, es infinito contablemente . Esto significa que se pueden poner en una correspondencia uno a uno con el conjunto de los números de conteo; informalmente, significa que es posible enumerarlos en una secuencia con la propiedad de que cualquier número racional individual aparece finalmente después de un número finito de términos.

Esta secuencia es fácil de describir. En primer lugar, enumerar (en orden creciente del numerador) todos los racionales que se encuentran entre sus dos enteros y tienen un denominador $2$ . (Si los enteros son consecutivos, habrá exactamente uno de ellos.) A continuación, enumera (de nuevo en orden creciente del numerador) todos los racionales que tienen un denominador $3$ . A continuación, haga el $4$ y el $5$ y así sucesivamente, omitiendo las que ya han sido enumeradas en términos inferiores. La secuencia resultante es una enumeración completa de todos los racionales en su intervalo deseado.

Por ejemplo, si sus enteros son $5$ y $6$ la enumeración comenzaría: $$\frac{11}{2}, \frac{16}{3}, \frac{17}{3}, \frac{21}{4}, \frac{23}{4}, \frac{26}{5}, \frac{27}{5}, \frac{28}{5}, \frac{29}{5}, \dots$$

Answer 2

$$ \frac 1 2,\quad \underbrace{\frac 1 3, \frac 2 3}_{\bullet/3}, \quad \underbrace{\frac 1 4, \frac 3 4}_{\bullet/4}, \qquad \underbrace{\frac 1 5, \frac 2 5, \frac 3 5, \frac 4 5}_{\bullet/5}, \quad \underbrace{\frac 1 6, \frac 5 6,}_{\bullet/6} \quad\underbrace{\frac 1 7, \frac 2 7, \frac 3 7, \frac 4 7, \frac 5 7, \frac 6 7,}_{\bullet/7} \quad \underbrace{\frac 1 8, \frac 3 8, \frac 5 8, \frac 7 8,}_{\bullet/8} \quad \ldots $$ Esta secuencia "cuenta" todos los números racionales entre $0$ y $1$ .