¿Cuándo vienen todas las derivaciones de automorfismos?

Question

Deje $k$ ser un campo (algebraicamente cerrado por simplicidad) y deje $A$ $n$- dimensiones álgebra $k$ (no necesariamente conmutativo o incluso asociativa). El grupo $G=\mbox{Aut}(A)$ algebraica de grupo. Los elementos de la mentira álgebra $\mathfrak{g}$ $G$ act (naturalmente) en $A$ y actúan como derivaciones $k$. Entonces, tenemos la inclusión de $\mathfrak{g}\subseteq \mbox{Der}_k(A)$. Mis primeras preguntas:

• Puede esta inclusión estrictos?
• Si es así, ¿cómo puede $\mathfrak{g}$ se caracteriza dentro de $\mbox{Der}_k(A)$? es un Ideal (en la mentira de álgebra sentido)?
• Hay condiciones razonables a $A$ que garantizar la igualdad?

Ahora, para un entorno más especializado, en Serre del libro "Lie y álgebras de Lie grupos" no es una prueba del teorema que si $\mathfrak{s}$ es un semi-real sencillo mentira álgebra con una definida forma de matar, entonces es una Mentira álgebra de algunos compactos real Mentira grupo $G$ (Thm 6.3). El grupo $G$ es $\mbox{Aut}(\mathfrak{s})$ y se afirma sin explicación de que "La Mentira álgebra de $\mbox{Aut}(\mathfrak{s})$ es el algebra de derivaciones de $\mathfrak{s}$" (que es igual a $\mathfrak{s}$ desde $\mathfrak{s}$ es semi-simple), por lo que el más especializado pregunta es

• Deje $\mathfrak{g}$ ser una Mentira álgebra, bajo qué condiciones la mentira álgebra de $\mbox{Aut}(\mathfrak{g})$ es el total $\mbox{Der}_k(\mathfrak{g})$?

Answer 1

$\def\fg{\mathfrak{g}}$Estos son siempre iguales. Tenga en cuenta que yo soy natural mediante el esquema de la estructura de $G$, que no necesita ser reducido (aunque si $A$ es finito dimensionales y $k$ tiene de característica cero) y la toma de $\fg$ a ser el Zariski el espacio de la tangente de $G$; la respuesta puede ser diferente si estuviera usando el reducido esquema de la estructura en $G$.

La propiedad que define el esquema de grupo $G$ es que, para cualquier conmutativa $k$-álgebra $R$, $\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}\ R, G) = \mathrm{Aut}_R(A \otimes R)$. (El subíndice significa que los automorfismos debe fijar los elementos de $R$.) Deje $D$ ser el anillo de $k[\epsilon]/\epsilon^2$. Dado un $k$- $X$ $k$punto $x$, el Zariski el espacio de la tangente $T_x X$ puede ser identificado con el conjunto de mapas de $\mathrm{Spec}\ D \to X$ de manera tal que la composición de la $\mathrm{Spec} \ k \to \mathrm{Spec} \ D \to X$ imagen $x$.

La combinación de estas dos ideas, $\fg$ se identifica con $$\{ \phi \in \mathrm{Aut}_D(A \otimes D) : \phi \equiv \mathrm{Id} \bmod \epsilon \}.$$ Para tal $\phi$, $\phi(a+\epsilon b) = \phi(a) + \epsilon \phi(b) = \phi(a) + \epsilon b = a + \epsilon \delta(a) + \epsilon b$ para algunos de mapa de $\delta: A \to A$. Uno puede comprobar que $a + \epsilon b \mapsto a + \epsilon \delta(a) + \epsilon b$ es un automorphism si y sólo si $\delta$ es una derivación. Por lo $\fg$ se identifica con $\mathrm{Der}(A)$. (Y, si se traza a través de, el espacio vectorial y álgebra de la Mentira de la estructura de partido.)

---

Aquí es un infinito dimensional ejemplo donde la reducción de las estructuras de $\mathrm{Aut}(A)$ no ve todos los de $\mathrm{Der}(A)$. Ver el $A=k[x, x^{-1}]$, lo $\mathrm{Spec}\ A=k^{\ast}$. La única automorfismos de a $\mathrm{Spec} \ A$ $x \mapsto ax$ $x \mapsto a x^{-1}$ $a$ un elemento distinto de cero de a $k$. Así que el reducido grupo de automorfismos de a$\mathrm{Spec} A$$(\mathbb{Z}/2) \ltimes \mathbb{G}_m$, con una dimensión trivial Mentira álgebra. Explícitamente, esta Mentira álgebra es atravesado por la derivación $x \partial/\partial x$.

Ver el $\partial/\partial x$. Esto da una automorphism de $A \otimes D$; es decir,$x \mapsto x + \epsilon$, $x^{-1} \mapsto x^{-1} - x^{-2} \epsilon$. Pero este automorphism no se eleva a un $1$ dimensiones de la familia de automorfismos, porque $x+\epsilon$ sólo es invertible si $\epsilon$ es nilpotent.

Sospecho que uno puede encontrar un ejemplo similar utilizando finito dimensionales $A$ en el carácter $p$; de hecho, sospecho $A = k[x]/x^p$ es un ejemplo. Pero no he pensado en esto cuidadosamente.