Identificación de $\mathbb{R}[x]/(x^2-2)$

Question

Estoy revisando para un examen y me he encontrado con esta pregunta. Estamos tratando de identificar el anillo de cociente $R = \mathbb{R}[x]/(x^2-2)$ . Esto es lo mismo que $\mathbb{R}[\alpha]$ donde $\alpha^2 -2 = 0$ y puedo demostrar que $\{1,\alpha\}$ forma un $\mathbb{R}$ -base lineal para el anillo.

También he demostrado que la ley de multiplicación viene dada por $$ (a + b \alpha) (c + d \alpha) = (ac + 2bd) + (ad + bc) \alpha. $$

Ahora creo que $R \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ . Creo que esto se deduce del Teorema Chino del Resto, pero desgraciadamente no hemos tratado este teorema en mi curso. ¿Hay alguna forma más sencilla de demostrar este isomorfismo?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Consideremos el homofismo de anillo $c:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ dado por $c(f)=(f(\sqrt{2}),f(-\sqrt{2}))$ . Desde $c(x^2-2)=0$ Esto induce un homomorfismo $\bar{c}:R\to \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $R$ y $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ son ambos bidimensionales $\mathbb{R}$ -de manera obvia, y $\bar{c}$ es un mapa lineal entre ellos. Así que para demostrar que $\bar{c}$ es una biyección (y, por tanto, un isomorfismo de anillo), basta con demostrar que es inyectiva. De forma equivalente, basta con demostrar que $\ker(c)=(x^2-2)$ ya que $\ker(\bar{c})=\ker(c)/(x^2-2)\subset R$ .

Supongamos que $f\in\mathbb{R}[x]$ y $c(f)=0$ . Esto significa que $f(\sqrt{2})=f(-\sqrt{2})=0$ Así que $f(x)$ es divisible por $x-\sqrt{2}$ y $x+\sqrt{2}$ . Dado que los polinomios tienen una factorización única y $x-\sqrt{2}$ y $x+\sqrt{2}$ son relativamente primos, esto significa que $f(x)$ es divisible por $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=x^2-2$ .

En términos más generales, este argumento demuestra que si $F$ es un campo y $g(x)\in F[x]$ es un grado $n$ polinomio con $n$ raíces distintas en $F$ entonces $F[x]/(g(x))\cong F^n$ (siendo el isomorfismo dado por la evaluación de los polinomios en cada una de las raíces).