Combinaciones de funciones características: $\alpha\phi_1+(1-\alpha)\phi_2$

Question

Supongamos que tenemos dos funciones características: $\phi_1,\phi_2$ y quiero tomar un promedio ponderado de ellos de la siguiente manera:

$\alpha\phi_1+(1-\alpha)\phi_2$ cualquier $\alpha\in [0,1]$

Puede ser que se demuestre que el resultado es también una característica de la función? Si es así, supongo que este resultado puede extenderse a cualquier número de combinaciones de $\alpha_i$ mientras $\sum_i\alpha_i=1$

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En segundo lugar, si $\phi$ es de nuevo una función característica, a continuación, $\mathfrak{R}e\phi(t)=\frac12(\phi(t)+\phi(-t))$ es también una característica de la función. Yo no sé ni cómo empezar a intentar esta prueba como no estoy seguro de cuál es el $\mathfrak{R}$ representa.

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Por último, con respecto a la simetría de funciones características,

$\phi$ es simétrica alrededor de cero iff es un valor real si la distribución es simétrica alrededor de cero.

Una vez más, mi falta de familiaridad con el plano complejo me deja en la oscuridad aquí. ¿Por qué un complejo de valores de la función no ser simétrica alrededor de cero?

Answer 1

Para probar estas son las funciones características, nos permiten utilizar variables aleatorias. Esto produce más sencillo y más intuitivo, las pruebas.

En el primer caso, se asume que el $\phi_1(t)=\mathrm E(\mathrm e^{itX_1})$ $\phi_2(t)=\mathrm E(\mathrm e^{itX_2})$ para algunas variables aleatorias $X_1$ $X_2$ definido en el mismo espacio de probabilidad e introducir una variable aleatoria de Bernoulli $A$ tal que $\mathrm P(A=1)=\alpha$$\mathrm P(A=0)=1-\alpha$, independiente de $X_1$$X_2$. Entonces:

La función de $\alpha\phi_1+(1-\alpha)\phi_2$ es la función característica de la variable aleatoria $AX_1+(1-A)X_2$.

La extensión a más de dos variables aleatorias es directa. Suponga que $\phi_k(t)=\mathrm E(\mathrm e^{itX_k})$ por cada $k$, para algunas variables aleatorias $X_k$ definido en el mismo espacio de probabilidad e introducir un entero con valores de variable aleatoria $A$ tal que $\mathrm P(A=k)=\alpha_k$ por cada $k$, independiente de $(X_k)_k$. Entonces:

La función de $\sum\limits_k\alpha_k\phi_k$ es la función característica de la variable aleatoria $\sum\limits_kX_k\mathbf 1_{A=k}$.

En el segundo caso, se asume que el $\phi(t)=\mathrm E(\mathrm e^{itX})$ para algunos variable aleatoria $X$ e introducir una variable aleatoria de Bernoulli $A$ tal que $\mathrm P(A=1)=\frac12$$\mathrm P(A=0)=\frac12$, independiente de $X$. Entonces:

La función de $t\mapsto\frac12(\phi(t)+\phi(-t))$ es la función característica de la variable aleatoria $AX+(1-A)(-X)=(2A-1)X$.

Answer 2

Por Bochner del teorema, una función de $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ es la función característica de una medida de probabilidad si y sólo si

1. $\phi$ es positiva definida,
2. $\phi(0) = 1$, y
3. $\phi$ es continua en el origen.

Desde estas propiedades se conservan bajo la combinación convexa, su segunda afirmación es verdadera siempre que $\alpha_i$ son no-negativos.

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El símbolo $\Re(z)$ significa que la parte real de un número complejo $z$. Si $\phi$ es una función característica, a continuación,$\phi(-t) = \bar{\phi}(t)$, con lo que tenemos

$$\Re \phi(t) = \frac{\phi(t)+\bar{\phi}(t)}{2} = \frac{\phi(t)+\phi(-t)}{2}. $$

Ahora vamos a $\phi$ ser la característica de la función de una probabilidad de medida $\mu$. Claramente la asignación de $t \mapsto \phi(-t)$ es la función característica de la medida $\tilde{\mu} : E \mapsto \mu(-E)$. Por lo tanto, en vista de que la primera respuesta, $\Re \phi(t)$ es también una característica de la función.

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Si su simetría alrededor de cero significa $\phi(-t) = \phi(t)$, entonces la primera afirmación de la siguiente manera por nuestra segunda respuesta. Ahora desde $\phi(t) = \phi(-t)$, la correspondiente medida deben coincidir, es decir, debemos tener $\mu(E) = \tilde{\mu}(E) = \mu(-E)$ para cualquier Borel medible $E \subset \mathbb{R}$. Por lo tanto $\mu$ es simétrica.