¿Es el espacio de lazo del % de espacio de Eilenberg-MacLane $K(G,1)$sólo depende de la cardinalidad de $G$? ¿Por ejemplo, el espacio de bucle de homotopía de $K(\mathbb{Z}_4, 1)$ es equivalente a la de $K(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, 1)$?
Respuestas
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Sí. Tenga en cuenta que para un espacio $(X, x_0)$, tenemos un fibration $$\Omega(X, x_0) \hookrightarrow P(X,x_0) \longrightarrow X,$$ donde $\Omega(X,x_0)$ indica el bucle espacio de $X$ $P(X,x_0)$ es el espacio de las rutas en las $X$$x_0$. Desde $P(X,x_0)$ es contráctiles (shrink rutas de acceso al punto de base $x_0$), de la larga secuencia exacta de los fibration nos encontramos con que $$\pi_k(X, x_0) \cong \pi_{k-1}(\Omega(X,x_0))$$ para cada entero positivo $k$. En nuestro caso, tenemos que $$\pi_k(K(G,1)) \cong \pi_{k-1}(\Omega K(G,1))$$ para cada entero positivo $k$. En particular, $$\pi_0(\Omega K(G,1)) \cong G$$ y $$\pi_k(\Omega K(G,1)) \cong 0, ~k \geq 1.$$
A partir de lo anterior, podemos ver que $\Omega K(G,1)$"$K(G,0)$." A pesar de $K(G,n)$ es por lo general sólo se define por $n \geq 1$, todavía podemos obtener sensible espacios (homotopy equivalente a $G$ con la topología discreta) con propiedades similares en el caso de $n = 0$. En particular, hemos $$[X,K(G,0)] \cong \tilde{H}^0(X; G).$$ Desde $\Omega K(G,1)$$K(G,0)$, $$[\Omega K(G,1), K(G,0)] \cong \tilde{H}^0(\Omega K(G,1); G)$$ y $$[\Omega K(G,1), \Omega K(G,1)] \cong \tilde{H}^0(\Omega K(G,1); G),$$ y por lo tanto podemos elegir un mapa de $f: \Omega K(G,1) \longrightarrow K(G,0)$ correspondiente a la identidad de mapa en $\Omega K(G,1)$ a través de la anterior isomorphisms, lo que inducirá a isomorphisms en homotopy grupos.
Hay un teorema de Milnor diciendo que si $X$ tiene el homotopy tipo de un CW complejo, $\Omega X$ tiene el homotopy tipo de un CW complejo. Por lo tanto, tenemos un mapa de $f: \Omega K(G,1) \longrightarrow K(G,0)$ inducción de isomorphisms en homotopy grupos entre los espacios con la homotopy tipo de CW complejos. Por lo tanto, por el teorema de Whitehead $\Omega K(G,1)$ es homotopy equivalente a $K(G,0)$, que es un espacio discreto de cardinalidad $|G|$.
Malachi
Puntos
168
Creo que es importante tener en cuenta que el bucle espacios tienen más estructura de su topología. Concantenation convierte en H-espacios ($A_\infty$ espacios), y si usas el Moore bucle espacio, incluso podemos hacer de ellos estrictamente asociativa monoids. J. P. de Mayo el libro "La Geometría de la Iteración de Bucle Espacios" básicamente dice que todos los asociativa monoid ($A_\infty$ espacio) es equivalente, como un asociativa monoid ($A_\infty$ espacio) a un bucle espacio. Por lo tanto, la homotopy teoría de bucle de espacios es esencialmente el mismo que el homotopy teoría de la asociativo monoids ($A_\infty$ espacios). Por lo tanto, al considerar bucle espacios debemos considerar el monoid estructura así. El monoids $G$ $\Omega B G$ son débilmente equivalente (en este caso $BG = K(G, 1)$). Por eso, $\Omega B G$ es realmente $G$ como monoid, y $\Omega B\mathbb Z /4$ $\Omega B(\mathbb Z /2 \oplus \mathbb Z/2)$ no son equivalentes como monoids.
Edit: La cosa clave a tener en cuenta acerca de los mapas de monoids, es que inducen mapas de monoids en $\pi_0$, que cualquier viejo mapa continuo no va a hacer. Si $\Omega B\mathbb Z /4$ $\Omega B(\mathbb Z /2 \oplus \mathbb Z/2)$ eran equivalentes, como monoids, a continuación, en $\pi_0$ obtendríamos un isomorfismo de monoids $\mathbb Z /4 \cong \mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z/2$.
