Hallar los posibles Mínimos Comunes Múltiplos de números con Máximo Común Factor 8

Question

El Máximo Común Factor de dos números es 8. ¿Cuál de los siguientes no puede ser nunca su Mínimo Común Múltiplo?

Las opciones son las siguientes:

A. 8

B. 12

C. 60

D. 72

La clave de respuesta indica que la respuesta es 60 porque 8 no es un factor de 60. Pero 8 tampoco es un factor de 12. Si no recuerdo mal, está esto factor fundamento regla en el que los factores del factor de un cierto número entero también se dividen uniformemente en ese número entero. En cuyo caso, si 4 es también un factor de 8, entonces 60 puede dividirse uniformemente por 4. Por lo tanto, 60 puede ser probablemente un LCM del HCF, 8.

Answer 1

Tienes razón en que tanto 12 como 60 no pueden ser el mínimo común múltiplo de dos números cuyo máximo común factor sea 8. Probablemente haya un error tipográfico en tu texto.

Answer 2

La clave de respuesta es correcta que $60$ no puede ser el LCM, pero incorrecto si afirma que $12$ puede ser el LCM. Si el HCF de $a$ et $b$ es $8$ el LCM es $\frac {ab}8$ y puesto que $8$ divide ambos $a$ et $b$ divide el LCM.

Answer 3

La regla general es que $(d,m)$ de enteros positivos puede ser el par del mayor factor común $\def\hcf{\operatorname{hcf}}\def\lcm{\operatorname{lcm}}d=\hcf(a,b)$ y mínimo común múltiplo $m=\lcm(a,b)$ de dos enteros positivos $a,b$ sólo si $d~$ divide $~m$ . La condición es necesaria porque $d$ debe dividir $a$ que debe dividir $m$ por definición, y la divisibilidad es transitiva. (También se podría utilizar $b$ como valor intermedio). La condición es suficiente porque si $d~$ divide $~m$ se puede tomar simplemente $(a,b)=(d,m)$ ; claramente en ese caso se tiene $\hcf(d,m)=d$ et $\lcm(d,m)=m$ .

Answer 4

Los dos números deben ser $8x$ et $8y$ donde $\gcd(x,y) = 1$ . Por lo tanto $\operatorname{lcm}(8x, 8y) = 8xy$ . Así que tenemos que encontrar números enteros primos relativos $x$ et $y$ tal que

 A. 8xy = 8
 B. 8xy = 12
 C. 8xy = 60
 D. 8xy = 72

Claramente (B) y (C) no tienen soluciones enteras.