¿La Unión de subespacios adecuadas, que es correcta?

Question

Mi libro de texto pide esto: Supongamos que $K$ es un campo finito con $k$ elementos, y que $V$ $r$- dimensional espacio vectorial sobre $K$. Mostrar que si $V = \bigcup_{i=1}^n U_i$ donde $U_1,\dotsc,U_n$ son propias de los subespacios de $V$,$n\geq (k^r - 1)/(k-1)$.

Luchando para probar esto por un rato, me hizo buscar un poco en google y encontré este: http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF01896954.pdf

que pretende mostrar $n = k+1$ es posible, un resultado que es independiente de la dimensión de la $V$. Cual es la correcta?

Answer 1

Tener en cuenta la ecuaciones lineales $$ \tag{eq}\begin{cases} x_{1} - \lambda_{j} x_{r} = 0\\ x_{r} = 0. \end{casos} $$ aquí $K = \{\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k} \}$, por lo que hay $k+1$ ecuaciones en (eq), que definen $k+1$subespacios máxima $W_{j}$ $V$.

Que $v \in V$. Si $r$-th componente $v_{r}$ $v$ es cero, entonces $v \in W_{k+1}$. Si $v_{r} \ne 0$, entonces el $v_{1} = \lambda_{j} v_{r}$ $\lambda_{j} = v_{1} v_{r}^{-1}$, que $v \in W_{j}$. Así $V = \bigcup_{j=1}^{k+1} W_{j}$.

Así que de hecho se puede hacer con $k+1$ subespacios. La respuesta mencionada demuestra que usted no puede hacer algo mejor que esto.