Supongamos que elige $1000$ diferentes números del grupo $\{1, 2, \dots,1997\}$ .
Demostrar que dentro de la $1000$ números elegidos, hay una pareja cuya suma es $1998$ .
He definido:
¿Esta definición es buena o hay algo mejor?
Mira las parejas $(1,1997)$ , $(2, 1996)$ y así sucesivamente hasta $(998,1000)$ junto con el singleton $999$ . Estos son los casilleros. Cada número pertenece exactamente a un casillero. Si elegimos $1000$ números, entonces como sólo hay $998$ pares y $1$ singleton, por lo menos $2$ de nuestros números terminan estando en el mismo casillero, es decir, sumando $1998$ .
Yo consideraría los conjuntos $A_1 = \{1,1997\}, A_2 =\{2,1996\} \ldots A_{998} = \{998, 1000\}, A_{999}=\{999\}$ . Obsérvese que contienen todos los números ${1,\ldots , 1997}$ .
Ahora, queremos elegir $1000$ números: significa que se toman al menos dos elementos del mismo conjunto y, por tanto, su suma es efectivamente $1998$ .
Considere los conjuntos $S_k = \{k,1998-k\}$ , donde $k \in \{1,2,\ldots,998,999\}$ . Tenga en cuenta que $S_{999} = \{999\}$ .
Ahora tienes $999$ casilleros.
Ahora tiene que elegir $1000$ números de $S = \displaystyle \bigcup_{k=1}^{999} S_k$ es decir, del $999$ conjuntos/casillas.
Por lo tanto, debe haber dos números de un conjunto. Llamemos a ese conjunto $S_l$ .
Los dos números de $S_l$ son $l$ y $1998-l$ . Se suman para dar $1998$ .
Hay algo mejor. El $1000$ Los números son sus palomas, pero sus casilleros no funcionan. Romper el conjunto $\{1,\dots,1997\}$ en pares de números que suman $1998$ : $\{1,1997\},\{2,1996\},\dots$ . Estas parejas son sus casillas; ¿cuántas hay?
Es necesario ser un pequeño cuidado aquí, ya que $1997$ es impar: después de formar las parejas, te sobrará un número. Es un encasillamiento en sí mismo.
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