probabilidad de grupo simétrico

Question

Se sabe que un polinomio aleatorio con int irreducible sobre los racionales tiene el grupo simétrico completo como su galoisgroup con una "alta" probabilidad.

Me gustaría disponer de una fórmula más precisa.

Concrtete : ¿Cuál es la probabilidad, de que un polinomio aleatorio de grado n, coeficientes enteros entre -L y L e irreducible sobre el racionales, tenga como grupo de galois el grupo simétrico S(n) ?

Answer 1

Hay mucha literatura al respecto. Un ejemplo es Gunter Malle, On the distribution of Galois groups, Journal of Number Theory, Volume 92, Issue 2, February 2002, Pages 315-329. El resumen dice,

Proponemos una conjetura sobre la distribución de campos numéricos con grupo de Galois dado y norma acotada del discriminante. Se sabe que esta conjetura es válida para los grupos abelianos. Damos algunas pruebas que relacionan el caso general con la fórmula de composición para discriminantes, damos un argumento heurístico a favor de la conjetura y presentamos algunos datos computacionales.

El documento también contiene referencias a trabajos anteriores sobre el problema, como

A.M. Baily, On the density of discriminants of quartic fields, J. Reine Angew. Math., 315 (1980), pp. 190-210;

H. Cohen, F. Díaz y Díaz, M. Olivier, Counting discriminants of number fields of degree up to four, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, Nueva York/Berlín (2000) p. 269-283;

H. Davenport, H. Heilbronn, Sobre la densidad de discriminantes de campos cúbicos, II, Proc. Roy. Soc. London, 322 (1971), pp. 405-420.

Pero también está J. Klüners, A counter example to Malle's conjecture on the asymptotics of discriminants, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005), que dice,

En esta Nota damos un contraejemplo a una conjetura de Malle que predice el comportamiento asintótico de las funciones de recuento para extensiones de campo con grupo de Galois dado y discriminante acotado.

Así que parece que aún queda trabajo por hacer.