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Forma equivalente de continum hipótesis

La hipótesis del continuo afirma que

20=1

Y Cantor equivalente como:

"No hay ningún subconjunto incontables A R tal que |A|<R."

¿Por qué estas dos declaraciones son equivalentes?

9voto

casperOne Puntos 49736

Estoy asumiendo que usted sabe que |R|=20, lo que puede ser probado por mirar binario expansiones de los números en [0,1] (descontando countably muchos números con que no es único de las expansiones).

El cardenal 1 es, por definición, el menor cardinal mayor que 0, lo que significa que no hay ningún conjunto de A tal que 0<|A|<1. Así, en particular, 20.

En la otra dirección, si \aleph_1<2^{\aleph_0}=|\Bbb R|, entonces eso significa que hay una inyección de f:\aleph_1\to\Bbb R, y el establecimiento A a medida que el rango de f,A\subseteq\Bbb R, e \aleph_0<|A|=\aleph_1<|\Bbb R|.

Así, suponiendo que no hay ningún tipo de conjuntos de A, también tenemos \aleph_1\not<2^{\aleph_0}, y asumiendo el axioma de elección, esto implica \aleph_1=2^{\aleph_0}.

4voto

DanV Puntos 281

Suponiendo que el axioma de elección, cada dos cardenales son comparables. En particular, cualquiera de las \aleph_1\geq 2^{\aleph_0} o \aleph_1\leq 2^{\aleph_0}.

Desde \aleph_1 es el menos incontables cardenal, y 2^{\aleph_0} es incontable por la diagonal argumento, se desprende que no es necesariamente el caso de que \aleph_1\leq 2^{\aleph_0}. Por lo que la hipótesis continua es equivalente a decir que el 2^{\aleph_0}=\aleph_1, de lo contrario existe un conjunto de tamaño \aleph_1, casi por definición,\aleph_1<2^{\aleph_0}, que es un intermedio entre el \Bbb N\Bbb R.

Tenga en cuenta, sin embargo, que el axioma de elección es esencial aquí. Es posible que el axioma de elección falla, no hay intermedio entre cardenales \Bbb N\Bbb R, pero \aleph_1\neq2^{\aleph_0} (en cuyo caso no son incomparables).

2voto

Cagri Puntos 61

\aleph_1 es la menos innumerables cardenal y |\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}. Decir que no hay ningún conjunto incontable con cardinalidad menor que \mathbb{R} es precisamente decir que |\mathbb{R}| es el cardenal menos innumerables; es decir, 2^{\aleph_0} = \aleph_1.

0voto

Michael Hardy Puntos 128804

Varias respuestas, ahora decir \aleph_1 es el menos incontables cardenal o que es el siguiente el cardenal después de \aleph_0. Podríamos recordar la definición de volver a Cantor, quien introdujo la notación:

\aleph_1 es la cardinalidad del conjunto de todos los contables de los números ordinales.

Si el axioma de elección se mantiene, entonces uno puede mostrar que todos infinito cardenales son alephs, y empezar con \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, etc., con nada entre alephs con índices consecutivos.

Por lo tanto, si no hay nada entre el\aleph_02^{\aleph_0},2^{\aleph_0}=\aleph_1, pero de lo contrario 2^{\aleph_0} > \aleph_1.

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