Forma equivalente de continum hipótesis

Question

La hipótesis del continuo afirma que

$$2^{\aleph_0}=\aleph_1$$

Y Cantor equivalente como:

"No hay ningún subconjunto incontables $A$ $\mathbb{R}$ tal que $|A| <\mathbb{R}$."

¿Por qué estas dos declaraciones son equivalentes?

Answer 1

Estoy asumiendo que usted sabe que $|\Bbb R|=2^{\aleph_0}$, lo que puede ser probado por mirar binario expansiones de los números en $[0,1]$ (descontando countably muchos números con que no es único de las expansiones).

El cardenal $\aleph_1$ es, por definición, el menor cardinal mayor que $\aleph_0$, lo que significa que no hay ningún conjunto de $A$ tal que $\aleph_0<|A|<\aleph_1$. Así, en particular, $2^{\aleph_0}\not<\aleph_1$.

En la otra dirección, si $\aleph_1<2^{\aleph_0}=|\Bbb R|$, entonces eso significa que hay una inyección de $f:\aleph_1\to\Bbb R$, y el establecimiento $A$ a medida que el rango de $f$,$A\subseteq\Bbb R$, e $\aleph_0<|A|=\aleph_1<|\Bbb R|$.

Así, suponiendo que no hay ningún tipo de conjuntos de $A$, también tenemos $\aleph_1\not<2^{\aleph_0}$, y asumiendo el axioma de elección, esto implica $\aleph_1=2^{\aleph_0}$.

Answer 2

Suponiendo que el axioma de elección, cada dos cardenales son comparables. En particular, cualquiera de las $\aleph_1\geq 2^{\aleph_0}$ o $\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}$.

Desde $\aleph_1$ es el menos incontables cardenal, y $2^{\aleph_0}$ es incontable por la diagonal argumento, se desprende que no es necesariamente el caso de que $\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}$. Por lo que la hipótesis continua es equivalente a decir que el $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, de lo contrario existe un conjunto de tamaño $\aleph_1$, casi por definición,$\aleph_1<2^{\aleph_0}$, que es un intermedio entre el $\Bbb N$$\Bbb R$.

Tenga en cuenta, sin embargo, que el axioma de elección es esencial aquí. Es posible que el axioma de elección falla, no hay intermedio entre cardenales $\Bbb N$$\Bbb R$, pero $\aleph_1\neq2^{\aleph_0}$ (en cuyo caso no son incomparables).

Answer 3

$\aleph_1$ es la menos innumerables cardenal y $|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$. Decir que no hay ningún conjunto incontable con cardinalidad menor que $\mathbb{R}$ es precisamente decir que $|\mathbb{R}|$ es el cardenal menos innumerables; es decir, $2^{\aleph_0} = \aleph_1$.

Answer 4

Varias respuestas, ahora decir $\aleph_1$ es el menos incontables cardenal o que es el siguiente el cardenal después de $\aleph_0$. Podríamos recordar la definición de volver a Cantor, quien introdujo la notación:

$\aleph_1$ es la cardinalidad del conjunto de todos los contables de los números ordinales.

Si el axioma de elección se mantiene, entonces uno puede mostrar que todos infinito cardenales son alephs, y empezar con $\aleph_0$, $\aleph_1$, $\aleph_2$, etc., con nada entre alephs con índices consecutivos.

Por lo tanto, si no hay nada entre el$\aleph_0$$2^{\aleph_0}$,$2^{\aleph_0}=\aleph_1$, pero de lo contrario $2^{\aleph_0} > \aleph_1$.