La aproximación del conjunto de

Question

$A,B$ están cerrados sets de $\mathbb R^n$ tal que $A \subset {\rm{Int}}(B)$.

¿Existe una función continua positiva $\sigma (x)$ $B$ tal que si $f$ es un continuo función de $B$ $\mathbb R^n$ tal que $\left| {f(x) - x} \right| < \sigma (x)$, entonces el $f(B)$ contiene $A$?

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es "sí, hay una función de $\sigma$". Primero, considere el caso especial, donde $A$ se compone de un único punto de $a\in B$:

Por supuesto, $A\subset \mathrm{Int}(B)$ existe $r>0$ de manera tal que la cierra $r$-ball $\overline{B_r}(a)$ $a$ está contenido en $B$. Se sigue de Brower del teorema de punto fijo que $f(B_r(a)) \supset B_{r(1-\epsilon)}(a)$ si $|f(x) - x| < r\epsilon$ todos los $x\in \partial B_r(a)$. De hecho, si no se $b\in B_{r(1-\epsilon)}(a)\setminus f(B_r(a))$, entonces el mapa de $g: \overline{B_{r}}(a) \to \overline{B_r}(a)$ $$g(x) = a+r\frac{f(x) - b}{|f(x) - b|}$ $ no tendría ningún punto fijo, contradiciendo Brouwer del teorema de punto fijo.

Esto muestra que para$a\in \mathrm{Int}(B)$, $0<r(a)<\frac 12$ $\epsilon(a)>0$ tal que $B_{2r(a)}(a)\subset \text{Int}(B)$ que $|f(x) - x| < \epsilon(a)$ todos los $x\in B_{2r(a)}(a)$ implica $B_{r(a)}(a)\subset f(B)$.

Ahora vamos a obtener para el caso general (la notación anterior): Desde $A$ es cerrado, el conjunto $A_m= A \cap \overline{B_m(0)}\setminus B_{m-1}(0)$ es compacto para cada $m\in \mathbb N$. Por lo tanto la cobertura $\{B_{r(a)}(a)\}_{a\in A_m}$ $A_m$ contiene un número finito de subcovering $\{B_{r(a)}(a)\}_{a\in F_m} \subset \{B_{r(a)}(a)\}_{a\in A_m}$ ($F_m\subset A_m$ finito). Si nos vamos a

$$\epsilon_m = \min_{a \in F_m}\, \epsilon(a)$$

a continuación, $|f(x) - x| < \epsilon_{m} \; \; \forall \, x\in B \cap \overline{B_{m+1}(0)}\setminus B_{m-2}(0)$ implica $A_m\subset \bigcup_{a\in F_m} B_{r(a)}(a) \subset f(B)$.

Así que todo lo que se necesita ahora es encontrar una función continua $\sigma: B \to (0,\infty)$ que satisface, para cada $m \in \mathbb N$: \begin{equation}\tag{%#%#%} \sigma(x) \le \epsilon_m \qquad \forall \, x\in B \cap \overline{B_{m+1}(0)}\setminus B_{m-2}(0) \end{equation} Ya que esto implicará $\ast$ todos los $A_m \subset f(B)$, y por lo tanto $m\in \mathbb N$ si $A = \bigcup_{m=1}^\infty A_m \subset f(B)$. Vamos a suponer (wlog) que $|f(x) - x| < \sigma(x)$

$\epsilon_1 \ge \epsilon_2 \ge \epsilon_3 \ge \dots$ pueden ser construidos de la siguiente manera: Vamos a $\sigma$ ser la continua (modelo lineal por tramos y nonincreasing) determina la función mediante el establecimiento $h:[0,\infty) \to (0,\infty)$ $h(m) = \epsilon_{m+2}$ y se extiende linealmente en todos los intervalos de $m=0,1,2,\dots$. Ahora establecer $[m,m+1]$$ El mapa de $$\sigma(x) := h(\Vert x\Vert),\quad \text{where }\,\Vert x\Vert = \text{Euclidean norm}$ es continua, positiva y $\sigma$, tenemos $x \in \overline{B_{m+1}(0)}\setminus B_{m-2}(0)$$ Por lo $$\sigma(x) = h(\Vert x\Vert) \le h(m-2) = \epsilon_{m}$ está satisfecho y esto concluye la prueba.