$\forall g, h, i, n \in \Bbb N, \ g, i > 1, g \neq 10^n, 3h, 3h - 1, (3h)^i \pm 1$. Plaza $g$, suma sus dígitos, resultado cuadrado, etcetera... ' va llegar a $13$

Question

$$\LARGE \text{The $13$ Conjecture}$$

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Deje $i$ ser un entero positivo y $g$ un entero positivo que no es de las formas $3h, \ 3h-1, \ (3h)^m \pm 1$ naturales $h, \ m$ mayor que $1$, e $g \neq 10^n$ naturales $n$. $δ(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ base $10$. Considerar las dos secuencias creadas por la aplicación de suma de dígitos y el aumento de la $2i$-ésima potencia como alternativa a $g$.

Conjeturas:

1. Si $i=1$, las dos secuencias de llegar a el periódico de punto con $13$.

2. Si $i > 1$, a continuación, las dos secuencias de llegar a un punto fijo de la función $δ(n^{2i})$

Un ejemplo para ilustrar:

Deje $g = 13, \ i = 1$, la primera secuencia es: $$13^2 = 169 \to 1 + 6 + 9 = 16 \to 16^2 = 256 \to 2 + 5 + 6 = \boxed{13}$$

La segunda secuencia es: $$1 + 3 = 4 \to 4^2 = 16 \to 1 + 6 = 7 \to 7^2 = 49 \to 4 + 9 = \boxed{13}$$

Ahora vamos a $g = 13, \ i = 2$, la primera secuencia es: $$13^4 = 28561 \to 2 + 8 + 5 + 6 + 1 = 22 \to 22^4 = 234256 \to 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$$ $$\to 20^4 = 16000 \to 1 + 6 + 0 + 0 + 0 = 7 \to 7^4 = 2401 \to 2 + 4 + 0 + 1 \to 7$$ De hecho, $7$ es un punto fijo.

la segunda secuencia es: $$1 + 3 = 4 \to 4^4 = 256 \to 2 + 5 + 6 = 13 \to \ldots \to 7$$

Answer 1

Como con muchos (pero no todos!) sistemas dinámicos en los números enteros, así que puede ser completamente analizado con un poco de equipo de fuerza bruta.

Deje $f(x)=\delta(x^2)$. A continuación, para lo suficientemente grande $x$,$f(x)\leq x$. Prueba: dado que el cuadrado de un número en la mayoría de los duplica el número de dígitos, a continuación, denotando $n(x)$ el número de dígitos de $x$,$f(x)\leq 9\cdot2n(x)$. Pero también tenemos $x\geq 10^{n(x)-1}$. Terminamos con $f(x)\leq x$ mientras $x$ tiene al menos $3$ dígitos.

Deje $A$ denota el conjunto de números enteros con en la mayoría de las $2$ dígitos, por lo $A=\{1, ..., 99\}$. El párrafo anterior muestra que cualquier órbita de $f$ pasa infinitamente a menudo a través de $A$, por lo que debe visitar algún elemento de $A$ dos veces, y así va a ser, finalmente, periódico. Para entender las órbitas de $f$, por lo tanto, sólo necesitan entender las órbitas de los elementos de $A$, que puede ser calculado en un equipo. Nos encontramos con que $f$ tiene dos puntos fijos, $1$$9$, y un ciclo, $\{13, 16\}$.

Desde $\delta(n)\equiv n\mod 9$,$f(n)\equiv n^2\mod 9$. Mirando lo que sucede modulo $9$ en repetidas cuadrado, obtenemos, para cualquier $n$, no sólo a $n\in A$:

1. Si $n\equiv 0, 3, 6\mod 9$, entonces la órbita de $n$ finalmente golpea el punto fijo $9$.
2. Si $n\equiv 1, 8\mod 9$, entonces la órbita de $n$ finalmente golpea el punto fijo $1$.
3. Si $n\equiv 2, 4, 7\mod 9$, entonces la órbita de $n$, finalmente, entra en el ciclo de $\{13, 16\}$.

Me imagino que un enfoque similar podría resolver el caso de $f(x)=\delta(x^{2i})$.

Answer 2

$$\LARGE \text{The $13$ Conjecture}$$

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Para cada número natural $g > 1$, si la plaza, luego la suma de sus dígitos, plaza el resultado, tomar la suma de los dígitos de eso, y así sucesivamente, en última instancia llegar a $13$.

Puesto que la suma de dígitos de $g$ es divisible por $3$ si y sólo si $3$ divide $g$, mi conjetura se lleva así a un tipo diferente de bucle, sin llegar nunca a $13$ desde $13 \neq 3h$ para todos los positivos $h$.

Por lo tanto $3$ no se puede dividir $g$.

Desde $1^2 = 1$, mi conjetura se lo llevan a otro diferente bucle si la suma de dígitos de $g$ es igual a $1$. Se estableció que la $g > 1$, pero $g \neq 10, 100, 1000, \ldots$

Por lo tanto $g \neq 10^n$, y de hecho, para algunos positiva $i$, $g \neq (3h)^i \pm 1$. Por supuesto, si $h = 1$$i = 1$, entonces esto no es adecuado, por lo $h, i > 1$. Pero $g \neq 3$ así que no tienen restricciones en la $h$ aparte del hecho de que es positiva (con otras restricciones agregadas en $g$).

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Ahora podemos volver a escribir la conjetura mediante la adición de las restricciones necesarias en $g$.

Para todos los números naturales $h, n$ y todos los $g, i > 1$:

$$ g \neq \begin{cases} 10^n, &\ 6(2n + 1) \pm 1 &\text{ for %#%#%}\\ 3h, &\ (3h)^i \pm 1&\text{ for %#%#%} \end{casos} $$

Permitiendo que estas restricciones en $n$, cuadrado, luego la suma de sus dígitos, entonces el cuadrado el resultado, tomar la suma de los dígitos de eso, y así sucesivamente. En última instancia, usted llegará a $h$.

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SEGUNDA EDICIÓN