Calcula

Question

Que $M=\{(x,y,z): z=x^2+y^2, z<1\}$ sea un múltiple liso de 2 $\Bbb{R}^3$. Que $\omega=xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy\in \Omega^2(\Bbb{R}^3)$. Calcular %#% $ #%

He parametrizado $$\int_M \omega.$ (hasta un conjunto nulo) con $M$ donde $g(r,\theta)=(r\cos \theta, r\sin \theta,r)$, entonces calcula $(r,\theta)\in (0,1)\times(0,2\pi)$ y que es cero, por lo tanto %#% $ #%

¿Mi resultado es correcto? Siento que podría ser una forma más fácil de ver que la integral es cero, evitando encontrar una parametrización explícita. ¿Es eso cierto? Si es así, ¿cómo podría uno han argumentado?

Answer 1

Si $f(x,y)=(x,y,x^2+y^2)$ y $$ \int_M \omega = \int_{D} f^\ast \omega $$ where $D $ is a unit disk. Hence $% $ $ \int_D (-x^2-y^2)dxdy = \int_D (-r^2) rdrd\theta = 2\pi \frac{-r^4}{4}\bigg|_0^1 = -\frac{\pi}{2} $

Answer 2

Utilizar el Teorema de Stokes: $$ \int_{M} d\omega = \int_{\partial M} \omega$ $

Encontrar $\omega_1 $ tal que $d \omega_1 = \omega$ y reducir la integración a $\partial M = \{z=x^2+y^2 = 1\}$.

EDIT: Esto podría trabajar si $\omega$ sería exacto pero no es así: $d \omega = 3\cdot dx \wedge dy \wedge dz \neq 0$.

Answer 3

Tras anotaciones de OP, escribimos $$g\left(r,\theta\right)=\left(r\cos\theta,r\sin\theta,r^2\right)$ $ y $$g_r\left(r,\theta\right)=\left(\cos\theta,\sin\theta,2r\right),\quad g_\theta\left(r,\theta\right)=\left(-r\sin\theta,r\cos\theta,0\right).$ $ ahora que calcular dónde $$\omega\left(g_r\left(r,\theta\right),g_\theta\left(r,\theta\right)\right)=-2r^2\cos^2\theta-2r^2\sin^2\theta+r^2=-r^2$ $ $$\int_M\omega:=\iint_{\left(r,\theta\right)\in\left(0,1\right)\times\left(0,2\pi\right)}\omega\left(g_r\left(r,\theta\right),g_\theta\left(r,\theta\right)\right)=\iint_{\left(r,\theta\right)\in\left(0,1\right)\times\left(0,2\pi\right)}\left(-r^2\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ $$=-\iint_{\left(r,\theta\right)\in\left(0,1\right)\times\left(0,2\pi\right)}r^3\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=-\frac{\pi}{2}.$ $