No-cuasi separados morfismos

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de morfismos de esquemas que no son cuasialeatorios separados?

Answer 1

Aquí es intuitivo propaganda para Anton respuesta...

Sabemos que un qsep (cuasi-separados) esquema ( $\mathbb{Z}$ ) es, precisamente, uno donde la intersección de U∩V de cualquiera de los dos cuñados, U=Spec(A) y V=Spec(B), que es cuasi-compacto. Mirando elogios da una perspectiva diferente: la de que sus diferencias U\V y V\U se cortan por un número finito de elementos en a,B, respectivamente, lo que significa que estas diferencias son "fácil de ver". Yo diría que esto justifica el siguiente credo:

• Un cuasi-separados esquema es uno donde cualquiera de los dos abiertos cuñados son "fáciles de distinguir.
• No qsep esquema es uno que contiene algunos "sutil distinción" entre abierta afines.

Las dos copias de $\mathbb{A}^\infty$ en Anton respuesta sólo se diferencian por el origen, que es "difícil de ver", en que no puede ser cortado por un número finito de anillo de elementos, y yo diría que el uso de una infinidad de variables para cortar un punto es acerca de la forma más natural para lograr esto. Por lo tanto, me gusta caracterizan no qsep esquemas que contienen "(infinitamente) distinciones sutiles" como este.

Más retoques en los rendimientos de una manera similar a pensar en un qsep de morfismos $f:X\to Y$. Yo diría que la correspondiente credo es que:

• Un cuasi-separados de morfismos es uno de los que conserva la existencia de "distinciones sutiles".
• No qsep de morfismos es uno que destruye algunas de las "distinciones sutiles".

Esto ayuda a intuitivize teoremas como:

(1) " Cualquier mapa de un qsep esquema es qsep ", porque no tiene distinción sutil que puede ser destruido.

(2) " Si $Y$ es qsep, a continuación, $f:X\to Y$ es qsep iff $X$ es qsep ", ya que $f$ destruye distinciones sutiles iff $X$ tiene de ellos.

(3) " Si $g\circ f$ es qsep, a continuación, $f$ es qsep ", ya que si $f$ destruido algunos distinción sutil, a continuación, $g$ no pudo recuperarse.

Aquí está una gruesa y una fina justificación de este credo en cada dirección...

Grueso de la versión: en 1971 EGA I 6.1.11, para cualquier cubierta de Y por qsep abre $V_{i}$, $f$ es qsep iff cada preimagen $f^{-1}(V_i)$ es qsep. Por lo tanto, $f$ no es qsep iff hay algunos qsep abrir $V\subseteq Y$ tal que $f^{-1}(V)$ no es qsep, lo que significa que contiene algunos sutil distinción que se pierde después de la aplicación de por $f$.

Multa versión: Supongamos $f$ es qsep. En 1971 EGA I 6.1.9, productos de fibra y composiciones de qsep morfismos son qsep, y cualquier universal de la inyección es qsep (por ejemplo, cualquier inmersión). Ahora supongamos que

$S\hookrightarrow X$

$T\hookrightarrow Y$

son cualquier universal inyecciones tal que $f|_S$ factores a través de $T$, por ejemplo si $T$ es el esquema de la teoría de la imagen de $S$. A continuación, $T$ qsep $\Rightarrow$ $S$ qsep, por lo tanto $S$ no qsep $\Rightarrow$ $T$ no qsep, significando $f$ preserva la existencia de distinciones sutiles en el paso de cualquiera de dichas $S$$T$.

Answer 2

Supongamos $U\hookrightarrow X$ es un no-cuasi-compacta abierta de inmersión. A continuación, puede pegar dos copias de $X$ junto $U$ (doblando el complemento de $U$) para obtener un no-cuasi-separados esquema de $Y$.

Por la suposición de que $U\hookrightarrow X$ no es cuasi-compacto, hay algunas abrir afín $W$ $X$ de manera tal que la intersección de a $W$ $U$ no es cuasi-compacto. Así que hay dos copias de $W$ sentado en el interior de $Y$ (uno por cada copia de $X$). La intersección de estos dos es exactamente $U\cap W$, que no es cuasi-compacto. Así nos encontramos con dos cuñados en $Y$ cuya intersección no es cuasi-compacto, lo que demuestra que $Y$ no es cuasi-separados.

Ahora sólo tenemos que encontrar a algunos de los cuasi-compacta abierta de inmersiones. El complemento de la procedencia en $\mathbb A^\infty$ es uno (por lo $\mathbb A^\infty$ con un doble origen no es una cuasi-separados esquema).

Edit: Aquí está otro que yo no entiendo completamente, pero le da un finito-dimensional ejemplo (cero-dimensional, de hecho). Considere la posibilidad de $X=Spec(\overline{\mathbb Q}\otimes_{\mathbb Q}\overline{\mathbb Q})$. Topológicamente, $X=Gal(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$, con el profinite topología (tal vez alguien podría explicar cómo ver esto en un comentario). En particular, cualquier punto es cerrada, sino que la complementan $U$ no es cuasi-compacto, así que tenemos otro ejemplo de no-cuasi-compacta abierta de inmersión, por lo $X$ con un doble punto no es cuasi-separados.