Dado cualquier nueve enteros muestran que es posible elegir, entre ellos, cuatro enteros un, b, c, d tal que a + b − c − d es divisible por 20.

Question

Dado cualquier nueve enteros muestran que es posible elegir, entre ellos, cuatro enteros un, b, c, d tal que a + b − c − d es divisible por 20. Más mostrar que dicha selección no es posible si empezamos con ocho enteros en lugar de nueve.

Yo no puedo probarlo en todos los casos

Answer 1

Mira todos los restos de $\pmod{20}$.

Caso I. Algunas resto se produce $4$ momento, es decir, tenemos cuatro distintos números de $a,b,c,d$$a\equiv b\equiv c\equiv d\pmod{20}$. A continuación,$a+b-c-d\equiv0\pmod{20}$.

Caso II. Dos restos que se producen dos veces cada uno, es decir, tenemos cuatro distintos números de $a,b,c,d$$a\equiv c\pmod{20}$$b\equiv d\pmod{20}$. A continuación,$a+b-c-d\equiv0\pmod{20}$.

Caso III. No resto se produce tres veces más, y a más de un resto se produce más de una vez. En ese caso, entre el $9$ números podemos optar $7$ con diferentes residuos. Entre las $\binom72=21$ pares sumas de los $7$ números, podemos encontrar dos que son congruentes $\pmod{20}$; es decir, tenemos $a+b\equiv c+d\pmod{20}$, mientras que$a\neq b,\ c\neq d$$\{a,b\}\neq\{c,d\}$. Los cuatro números de $a,b,c,d$ deben ser distintos porque, si hemos tenido (decir) $a=c$, entonces tendríamos $b\equiv d\pmod{20}$ pero $b\neq d$, contradiciendo el hecho de que los números fueron escogidos para tener diferentes restos de $\pmod{20}$. Por lo $a,b,c,d$ son cuatro distintos números, y $a+b-c-d\equiv0\pmod{20}$.

P. S. no funciona con ocho enteros; por ejemplo, el conjunto de $\{1,2,4,7,12,20,40,60\}$.

Answer 2

Sugerencia: Los restos de la división a través de $20$ son $0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm7,\pm8,\pm9,\pm10$.