Anillo con finito muchos ideales principales con una condición adicional. ¿Son máximo?

Question

Que $A$ ser un anillo conmutativo con identidad. Si $A$ tiene un número finito de ideales principales $p_1,...p_n$ y $\prod_{i=1}^n p_i^{k_i} = 0$ $k_i$. ¿Son necesariamente máxima los ideales principales?

Answer 1

No, pero el contraejemplo es trivial. Tener un dominio integral con finito muchos ideales principales que no es un campo. Por ejemplo, la localización $\mathbb{Z}_{(p)}$ de los enteros en el primer p. El ideal cero es no máxima y por lo tanto, trivial, $\prod_{i=1}^np_i=0$. ¿Tal vez esto no es exactamente lo se significa preguntar?