Deligne la conjetura de los estados que la Hochschild cochain complejo de Un infinito el álgebra es un álgebra sobre el operad de las cadenas en el topológica discos pequeños operad.
Por supuesto, la hipótesis ha sido comprobada, pero las pruebas a un lado -- ¿cuáles son algunas razones morales por qué debemos de creer en Deligne la conjetura?
La sección 2.5 (tercer párrafo) en Lurie DAG 6 (en su página web) tiene una explicación general. Un espacio para tener un n-veces bucle de estructura de espacio es equivalente a tener una acción de la E[n] operad, y a tomar E[n] Hochschild cochains cantidades al bucle. Para el caso bajo análisis, E[1] es equivalente a A-infinito, y los discos pequeños operad es un modelo de E[2].
Usted debe leer la (extremadamente corrientes de aire) el proyecto de "Blob homología" por mí y Kevin Walker, que incluye un bonito topológico explicación de Deligne la conjetura, y una de mayores dimensiones de la generalización.
Por desgracia no podemos decir "Deligne de la conjetura" exactamente de la manera que usted lo hizo, pero lo esencial es que tengamos una cadena de mapa $$C_*(Diff_M)(x)B_*(M;C)\to B*(M;C)$$ for any $n$-manifold $M$ and (roughly speaking) $n$-category $C$. Restricting to $M=S^1$ and $C$ an $$-infinito álgebra te da lo que quieres, después de un par de pasos más de la traducción.
Como punto de partida, considerar esta breve explicación por Juan Báez acerca de las acciones de los pequeños discos operad en el lazo de espacios:
http://math.ucr.edu/home/baez/week220.html
Ahora, considere la figura en la página 35 de estas diapositivas -- http://canyon23.net/math/talks/GTC%20200905b.pdf
Hasta homotopy, el pequeño de los discos de espacio es equivalente a la "gran bigons" el espacio. El exterior bigon es casi completamente lleno por el interior de la bigons (por lo que son tan grandes como los que se pueda). Podemos pensar en esto como describir una secuencia de operaciones (uno para cada interior bigon) que transforma la mitad inferior del exterior bigon en la mitad superior de la parte externa del bigon. es decir, cortar el límite inferior de un menor interno bigon y colocar la mitad superior de interior bigon, y así sucesivamente para cada interior bigon.
Pensamos de Hochschild cochains como un derivado de la Hom de la regular bimodule a sí mismo. Si cada interior bigon está marcado por un Hochschild cochain, para luego componer estos diversos elementos de los Hom espacios, en una forma de seguimiento de la topológico de las operaciones en el párrafo anterior, da un Hochschild cochain asociados para el exterior bigon.
Hasta ahora hemos descrito una acción de 0-cadenas (puntos) de la gran bigons operad a Hochschild cochains. Si tenemos dos puntos en el operad conectados por un arco, luego los mapas asociados a los extremos no son iguales, pero son de la cadena de homotópica a través de un homotopy determinado por el arco. Y así sucesivamente para k-cadenas en el operad.
No estoy seguro de qué tan difícil sería para convertir las ideas anteriores en una prueba de la costumbre Hochschild cochain complejo, pero para el homotopy equivalente blob complejo que se puede dar una prueba a lo largo de estas líneas. Esta prueba (para el blob complejo) se generaliza a dimensiones superiores, donde vamos a reemplazar el límite de un bigon (dos intervalos) con cualquiera de los dos n-variedades pegado a lo largo de su límite. Las acciones de la pequeña n-cubos operad venir desde el caso especial en el que todas las n-variedades son la n-bolas.
Aquí está una super simple manera de pensar acerca de ello: La Hochshcild cochains en $A$ se deriva $Hom$ $A \otimes A^{op}$ $A$ a$ A$. Esto tiene dos multiplicaciones, dado por la composición y la multiplicación en el de destino, respectivamente.
Estos desplazamientos o se entrelazan, por lo que el resultado tiene una acción del producto tensor de dos $A$-infinito operads, que es (al menos si eligió la derecha $A$-infinito operads) $E_2$ operad.
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