Dos estructuras homogéneas, realizar los mismos tipos son isomorfas

Question

Deje $M$ $N$ dos contables homogéneas, las estructuras, y de asumir que ambos se dan cuenta de los mismos tipos con un número finito de variables. De lo anterior se sigue que el $M$ $N$ son isomorfos? Lo que si ambos son innumerables, pero de la misma cardinalidad?

Realmente no puedo entender la idea de homogeneidad de las estructuras demasiado bien, sin embargo. Algunas de orientación y de la intuición en lo que sería bienvenido también.

Tengo la sensación de que esto tiene algo que ver con $\omega$de saturación, y tal vez el Ryll-Nardzewski Teorema, pero no acabo de poner las piezas juntas.

Edit: Un comentario, ahora eliminado, sugirió un ida y vuelta método. Ya que es generalmente el método para probar la existencia de isomorphisms de estructuras contables, estoy sorprendido de que yo no piense en ello. Voy a tratar de que ahora, pero parece que podría complicarse con tantas funciones que va alrededor (los que se utilizan en la ida-y-el método en sí, y los que vienen de homogeneidad de ambos $M$$N$).

Answer 1

Primaria, utilizando la solución de ida y vuelta método puede ser formulada de la siguiente manera.

Toma arbitraria de dos homogénea, contables modelos de $M,N$ lograr el mismo $n$-tipos sin parámetros, para todos los $n$. Enumerar $M,N$$a_n,b_n$, respectivamente.

Construimos de forma recursiva a un aumento de la secuencia parcial isomorphisms $f_n\colon\{a_1,\ldots,a_n,b_1',\ldots,b_n'\}\to \{b_1,\ldots,b_n,a_1',\ldots,a_n'\}$ tal que $f_n(a_j)=a_j'$$f_n(b_j')=b_j$, lo que da un isomorfismo $\bigcup_n f_n\colon M\to N$.

1. En primer lugar, ponemos a $f_0=\emptyset$.
2. Supongamos que tenemos $f_n$. Elegir un $2n+1$-tupla $(c_1,\ldots,c_{2n+1})$ $N$ realizando el mismo tipo de $(a_1,\ldots,a_n,b_1',\ldots,b_n',a_{n+1})$$M$.
3. Por homegeneity de $N$, hay un automorphism $\varphi$ $N$ que se lleva a $(c_1,\ldots,c_{2n})$$(b_1,\ldots,b_n,a_1',\ldots,a_n')$. Poner $a_{n+1}'=\varphi(c_{2n+1})$, por lo que podemos extender $f_n$$f_n'\colon\{a_1,\ldots,a_n,a_{n+1},b_1',\ldots,b_n'\}\to\{b_1,\ldots,b_n,a_1',\ldots,a_n',a_{n+1}'\}$.
4. Por el mismo método que en el paso anterior, podemos encontrar $b_{n+1}'\in M$, lo que nos va a permitir extender $f_n'$ $f_{n+1}$y hemos terminado.

Editar:

Yo sólo ahora notado la segunda pregunta que te he pedido. Esencialmente el mismo argumento se puede utilizar para homogénea estructuras de la misma cardinalidad, sólo podemos utilizar en lugar de la recursión transfinita para la construcción de $f$, y se debe tener más cuidado en el paso 2, que es, usted necesita demostrar que para cada cardenal $\kappa<\lvert M\rvert=\lvert N\rvert$, $M$ y $N$ realizar el mismo $\emptyset$-tipos de $\kappa$ variables (no sólo para finitos $\kappa$).

Pero para hacer esto, observe que la una leve modificación del mismo argumento muestra que si dos modelos se $\kappa$-homogénea, y se dan cuenta de los mismos tipos de $<\kappa$ variables, luego se dan cuenta de los mismos tipos de $\kappa$ variables, por lo que la anterior puede ser demostrado por simple inducción. Los detalles técnicos debe ser fácil, si no, pregunta en un comentario.