Distribución de ceros de una función continua

Question

Estoy interesado en la posible distribución de ceros en un intervalo cerrado $[a,b] \subset \mathbb{R}$ de una función continua $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que no es constante en ningún intervalo abierto.

1. Conseguí demostrar que si los ceros están uniformemente distribuidos, entonces el conjunto de ceros en $[a,b]$ puede ser como máximo finito, de lo contrario formarían un conjunto denso que implicaría que la función es constante.
2. Tengo curiosidad por saber el número posible de puntos de acumulación en $[a,b]$ . Conjeturo que puede haber contablemente muchas, pero no he conseguido construir un ejemplo explícito de una función que satisfaga este requisito.
3. También creo pero no he conseguido demostrar que no puede haber incontablemente muchos puntos de acumulación en $[a,b]$ .

¿Existe algún teorema general en análisis o topología general que aborde estas cuestiones concretas?

Answer 1

Sea $C \subset [0,1]$ sea un conjunto de Cantor (podría ser el estándar de los tercios medios, podría ser un conjunto gordo de Cantor), y

$$f(t) = \operatorname{dist}(t,C) = \inf \{ \lvert t-c\rvert : c \in C\}.$$

Entonces $f\colon [0,1] \to [0,1]$ es una función continua con $C = f^{-1}(0)$ y $f$ no es constante en ningún intervalo no degenerado. Como los conjuntos de Cantor son perfectos, $f^{-1}(0)$ tiene incontables ( $2^{\aleph_0}$ ) puntos de acumulación.

Todo subconjunto cerrado de un espacio métrico es el conjunto cero de una función continua, y si el dominio es un intervalo, siempre se puede disponer de modo que la función no sea constante en ningún intervalo que no intersecte al conjunto cero. Así, para un intervalo, todo subconjunto cerrado con interior vacío es el conjunto cero de una función continua que no es constante en ningún intervalo.

Answer 2

Pieza $2$ se resuelve rápidamente mediante la función

$f(x)=\cases{x\sin(1/x)) \text{ if } x\neq 0\\ 0 \text{ if } x=0}$

Tiene un número contable de ceros en el intervalo $[0,1]$ .

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Lo siento, el anterior conjunto de discontinuidades era contable pero sólo tenía un punto de acumulación, el siguiente hace el truco:

Tome el set $A=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^m}$ con $n$ y $m$ naturales positivos. Como en la respuesta de Daniel podemos tomar la función $f(x)=d(x,A)$ . Los puntos de acumulación son precisamente $0$ y $\frac{1}{2^n}$ por positivo $n$ .