Cálculo: serie vs integrales incorrectos

Question

¿Cuál es la diferencia entre integrales incorrectos y una serie? Por ejemplo, si resolver un tipo una integral impropia de 1 a infinito, la respuesta es diferente que si resuelves la misma función usando una serie geométrica.

Answer 1

En su caso, teniendo en $1 \to \infty$:

La serie suma de enteros $n = 1 \to \infty$: $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f(n)$.

Las integrales de "suma" sobre todos los reales $x = 1 \to \infty$: $\int_{n=1}^\infty f(x) dx$.

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Agregado: esto podría ayudar en la comprensión de la relación entre la suma parcial (de la serie) y la integración, desde la entrada de Wikipedia sobre "Serie":

Parcial de suma se toma como entrada una secuencia, $\{ a_n \}$, y da como resultado otra secuencia, $\{ S_N \}$. Es por lo tanto una única operación en secuencias. Además, esta función es lineal, y por lo tanto es un operador lineal sobre el espacio vectorial de las secuencias, que se denota $\Sigma$. El inverso del operador es el de las diferencias finitas operador, $\Delta$. Estos se comportan como discretos análogos de integración y diferenciación, sólo para la serie de funciones de un número natural) en lugar de funciones de una variable real. Por ejemplo, la secuencia de $\{1, 1, 1, ...\}$ serie $\{1, 2, 3, 4, ...\}$ como su suma parcial, que es análogo al hecho de que $\int_0^x 1\,dt = x.$

Answer 2

Una serie añade una contables número de términos. Una integral", añade," juntos los valores de una función sobre la totalidad de un sinnúmero de intervalo. Así $$\sum_{n=1}^\infty f(n),$$ if it converges, adds only contributions from $f|_\mathbb{N}$, while $$\int_1^\infty f(x)dx,$$ if it converges, adds infinitesimal contributions from every real number in $[1,\infty)$.

He aquí una interesante nota, sin embargo. A partir de una más avanzadas punto de vista, estos son dos ejemplos de una integral de Lebesgue, pero con respecto a las dos medidas diferentes. La integral de Riemann es Lebesgue integración con respecto a la medida de Lebesgue, que los pesos de todos los números reales por igual. La suma es Lebesgue de integración con respecto a una medida apoyada en los números enteros, que tiene el efecto de la adición de sólo los valores de la función en $\mathbb{N}$.

Answer 3

No se puede sumar una infinidad de cualquier cosa, comprar no te preocupes, porque nadie puede. La serie y la integral de ambos representan el comportamiento limitante de una suma de un número finito de términos, es decir,

1. En el caso de una serie que estamos interesados en lo que sucede en una suma finita como el número de términos aumenta sin límite.

2. En el caso de la integral estamos interesados en lo que sucede a una serie como un factor en cada término, llamado malla o la norma de la partición, se reduce a cero. Normalmente este factor tiene una magnitud que depende del número de términos. Por ejemplo, el factor (b-a)/N si usted está haciendo la integral de Riemann de una función sobre el intervalo (a,b). "N" en este caso es el número de términos en la suma y "1/N" es proporcional a la norma de la partición.

Esto puede no ser agradable, geométricamente, pero su clave para entender cuál es la diferencia entre una serie y un (Riemann) integral. Buena pregunta.

Answer 4

La integral representa el área bajo la curva y resume cada valor que la curva se encuentra en (no sólo coordenadas del número entero!). La suma geométrica infinita sólo suma los valores enteros y equivale a una aproximación del área (una suma de riemann).

Answer 5

Más claramente, para la serie utilizamos $\sum$ que son valores discretos sumados sobre números enteros y para integrales utilizamos $\int_a^b$ que son el intervalo continuo