Cómo obtener la fórmula de la suma de los primeros $n$ Números Impares: $n^2=\sum_{k=1}^n(2k-1).$

Question

¿Cómo se obtiene esta fórmula?

$$n^2=\sum_{k=1}^n(2k-1).$$

Answer 1

_Aviso cómo la diferencia de dos cuadrados consecutivos es siempre un número impar:_ $$(x+1)^2=x^2+(2x+1)$$

Answer 2

$$\sum_{k=1}^n(2k-1) = \sum_{k=1}^n 2k + \sum_{k=1}^n - 1 = 2\sum_{k=1}^nk - n = 2\dfrac{n(n+1)}{2} - n = n^2$$

Answer 3

Bueno, ya que otros habían dado fórmulas para calcular esta suma, voy a escribir un método de suma de mis días de escuela primaria: Para $n=5$ ,

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \times&\times&\times&\times&\times\\\hline \color{red}\bigcirc&\color{red}\bigcirc&\color{red}\bigcirc&\color{red}\bigcirc&\times\\\hline \times&\times&\times&\color{red}\bigcirc&\times\\\hline \color{red}\bigcirc&\color{red}\bigcirc&\times&\color{red}\bigcirc&\times\\\hline \times&\color{red}\bigcirc&\times&\color{red}\bigcirc&\times \end{array}$$

Answer 4

Como ya se ha dicho, se puede demostrar por Inducción Matemática o mediante una simple manipulación algebraica. Pero hay otra técnica que es menos rigurosa pero que hace evidente por qué es cierta: 'Demostración' por imagen, mira la diapositiva llamada "Suma de los Enteros Impares": http://math.berkeley.edu/~rbayer/09su-55/handouts/ProofByPicture-printable.pdf

Answer 5

Para ello se puede utilizar la inducción matemática: Primero demuestra la afirmación para n=1 (o 0 si quieres) y luego demuestra que si se cumple para n=k, también se cumple para n=k+1. (Puedes hacer la última parte fijándote, por ejemplo, en las diferencias entre cuadrados consecutivos).