Análisis de esta serie.

Question

Considerar la serie de $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n^p \ln^qn}$. Probar que:

• La serie converge si $p > 1$ (y cualquier $q$), o si $p = 1$$q > 1$.
• La serie diverge si $p < 1$ (y cualquier $q$), o si $p = 1$$q \leq 1$.

Inmediatamente sé que debemos tener $p > 0$, de lo contrario, el término general no vaya a cero.

La prueba de razón de falla, ya que si llamamos a $x_n = \frac{1}{n^p \ln^qn}$, obtenemos que: $$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{n^p \ln^q n}{(n+1)^p \ln^q(n+1)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^p \left(\frac{\ln n}{\ln(n+1)}\right)^q \to 1 \cdot 1 = 1$$

Desde $n^{p/n} = e^{(p \ln n)/n}$$\ln^{q/n}n = e^{(q \ln \ln n)/n}$, la raíz de la prueba también se produce un error: $$\sqrt[n]{|x_n|} = \sqrt[n]{\frac{1}{n^p \ln^qn}} = \frac{1}{n^{p/n} \ln^{q/n}n} \to \frac{1}{1 \cdot 1} = 1$$ así, no es bueno. Me cuesta pensar que la integral de la prueba puede ayudar aquí. Pensé que la idea era conseguir alguna condición en $p$ $q$ mediante el uso de las pruebas anteriores.

Entonces, yo me quedo con la comparación con $1/n^2$ o algo por el estilo, pero estoy un poco perdido sobre cómo ir sobre ella. Alguien puede darme una mano? Gracias.

Answer 1

Con las sugerencias de los comentarios, buscando los vínculos, etc, voy a publicar mi solución. Desde $\frac{1}{n^p \ln^qn}$ es decreciente y no negativo, que el uso de Cauchy de la prueba de condensación. Tenemos que buscar en: $$\sum_{n \geq 2} \frac{2^n}{(2^n)^p (\ln 2^n)^q} = \sum_{n \geq 2} \frac{1}{\ln^q2} \frac{2^n}{2^{np}n^q} = \frac{1}{\ln^q2} \sum_{n \geq 2} \frac{2^n}{2^{np}n^q} = \frac{1}{\ln^q 2} \sum_{n \geq 2} \frac{2^{n(1-p)}}{n^q}$$

Ahora vamos a utilizar la prueba de razón de por $\sum_{n \geq 2} \frac{2^{n(1-p)}}{n^q}$. Tenemos que:

$$\frac{2^{(n+1)(1-p)}}{(n+1)^q}\frac{n^q}{2^{n(1-p)}} = 2^{(n+1)(1-p) - n(1-p)} \left(\frac{n}{n+1}\right) \to 2^{1-p}$$

Por lo tanto, si $p = 1$, la prueba falla. Si $p > 1$, $2^{1-p} < 1$, y la serie converge. De la misma manera, $p < 1$ nos da $2^{1-p} > 1$ y la serie diverge.

Ahora, sólo tenemos que mirar el caso $p = 1$. Para esto, podemos volver a la serie original $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n \ln^qn}$. Ahora, hacemos uso de la integral de la prueba. Por último, tenemos: $$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln^q x} \ \mathrm{d}x = \left.\frac{(\ln x)^{-q+1}}{-q+1}\right|_2^{+\infty} = \frac{1}{-q+1}\lim_{\alpha \to +\infty} \left((\ln \alpha)^{-q+1} - (\ln 2)^{-q+1}\right)$$

Esto es válido si $q \neq 1$. Desde $(\ln 2)^{-q+1}$, sólo tenemos que ver el $(\ln \alpha)^{-q+1}$. Va a volar si $-q+1 < 0$, $q < 1$, por lo que la serie diverge. Por otro lado, si $q > 1$, $(\ln \alpha)^{-q+1} \to 0$ y la serie converge.

Y si $p = q = 1$, tenemos: $$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \ \mathrm{d}x = \lim_{\alpha \to +\infty} \ln(\ln \alpha) - \ln(\ln 2) = +\infty.$$