¿El Fourier transforma se puede definir como una integración más $\mathbb C$ $\mathbb R$?

Question

Puede la transformada de Fourier de una función entera $f:\mathbb R\mapsto\mathbb C$ se define como la integración de más de $\mathbb C$ en lugar de $\mathbb R$, que $$\tilde f(k) = \frac{\mathcal N}{2\pi} \int_{\mathbb C}f(x) e^{-ikx}\,dx,$$
y (si es así) ¿cuál es el valor correcto de la normalización $\mathcal N$ por coherencia con la $\mathbb R$-a la integración?

Dada una función entera $f:\mathbb R\mapsto\mathbb C$, su transformada de Fourier

$$ \tilde f(k) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}\,dx$$

puede ser determinada por la integración de otros caminos como bien mediante el uso de Cauchy del Teorema de los Residuos, por ejemplo por el cambio de $x$ por una constante imaginario $ic$. Suponiendo que una lo suficientemente rápida descomposición de la función de $\Re(x)\to\pm\infty$ (y usando el hecho de que una función entera no tiene residuos), esto se traduce en sólo añadir que la constante para la integración de los límites, es decir,

$$ \tilde f(k) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty+ic}^{\infty+ic} f(x)e^{-ikx}\,dx,$$

que puede ser expresada por la sustitución, así:

$$ \tilde f(k) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x-ic)e^{-ik(x-ic)}\,dx.$$

Se puede hacer un promedio sobre los diferentes valores de $c$ obtener

$$ \tilde f(k) = \frac1{2\pi\cdot 2T}\int_{-T}^{T}\int_{-\infty}^{\infty} f(x-ic)e^{-ik(x-ic)}\,dx\,dc.$$

Ahora mi pregunta se reduce a

1) Desde el infinito está involucrado, es esto equivalente a

$$ \tilde f(k) = \frac1{4\pi T}\int_{\mathbb R\times[-iT,iT]} f(x_1+x_2)e^{-ik(x_1+x_2)}\,d^2x,$$

2) ¿Puede el límite de $T\to\infty$ ser tomado tal que $\mathbb R\times[-iT,iT]\to\mathbb C$

y 3) ¿Cuál sería la correcta normalización?

Answer 1

No, la transformada de Fourier de una función toda $f:\mathbb R\mapsto\mathbb C$ no puede ser definida como la integración de más de $\mathbb C$.

Los comentarios ya contienen muchas pistas de por qué tal definición sería problemático. Sin embargo, hasta la definición por la integración de más de $\mathbb R$ es problemático para toda la función, como puede verse en la siguiente parte de la Paley–Wiener teorema:

Toda una función de $F$ $\mathbb C^n$ es la de Fourier la transformada de Laplace de la distribución de $v$ de soporte compacto si y sólo si para todos $z \in \mathbb C^n$, $$ |F(z)| \leq C (1 + |z|)^N e^{R| \mathfrak{Im} z|} $$ para algunas constantes $C$, $N$, $R$.

Aprendemos de esto que la transformada de Fourier de una templado de la función es, en general, sólo una distribución, lo que implica que la integral de Fourier no estar bien definido para un general de toda la función.

Si nos fijamos en ("templado") funciones de holomorphic en una "adecuada" medio-plano de $\mathbb C$ en lugar de la totalidad de las funciones, la (inversa) de la transformada de Laplace convierte en el "apropiado" de la modificación de la transformada de Fourier.