¿Por qué es imposible mover desde la esquina hasta el centro de un cubo de $3 \times 3 \times 3$ en estas condiciones?

Question

Hay un $3 \times 3 \times 3$ cubo de bloque, comenzando en la esquina, se le permite tomar 1 bloque cada vez, y el siguiente debe compartir una cara con la última. Puede ser terminado en el centro?

Esta es una pregunta acerca de la teoría de grafos (creo), y obviamente es imposible hasta terminar en el centro. Empiezo a considerar sobre el Hamiltoniano ruta de acceso y el grado de cada vértice , pero es diferente, porque tienes que empezar y terminar con un determinado vértice. ¿Alguien puede decirme la razón de por qué es imposible?

Answer 1

Un enfoque para colorear los cubitos.

Deja que el color de los cubos individuales rojo y azul. Pintamos en un "corrector" (la versión en 3D, que es) el patrón, de modo que las esquinas son de color rojo y de los medios de cada uno de los lados son de color azul, los centros de cada cara roja, y en el centro del cubo de color azul, como este (creado con POV-Ray):

Ahora supongamos que tenemos un camino que se inicia en un pedazo rojo (en una esquina), y termina en el centro, un pedazo de color azul. Vamos a contar el número de azul y rojo de las piezas que necesita para ir a través de. Hay $14$ piezas rojas y $13$ azul piezas. Desde que empezamos en rojo, y al final en un azul, y necesitamos un "Rojo, Azul, Rojo, Azul, ..., Rojo, Azulpatrón" (ya que cada color tiene neigbours de otro color), esto nunca va a funcionar: ya que, por tal motivo y $14$ "Rojo"s necesitamos $14$ "Azul", pero sólo tenemos $13$! Así que esto no es posible.

---

(Posiblemente equivalente) enfoque mediante la teoría de grafos.

Ya que usted menciona la teoría de grafos, veamos de esa manera, también. Hacemos un gráfico con $27$ puntos (uno por cada cubo) y dos puntos están conectados si y sólo si los cubos que representan compartir una cara. Tenga en cuenta que este grafo es bipartito, ya que sólo contiene ciclos. Una imagen de la gráfica obtenemos (creado con GeoGebra):

Ahora tenga en cuenta que en el lado izquierdo (el lado donde las esquinas de la original cubos) tenemos $14$ puntos, mientras que en el otro lado tenemos sólo $13$ puntos. Ahora tenemos que encontrar un camino que se inicia en el lado izquierdo y termina en el lado derecho. Pero tenemos que volver a una vuelta entre la izquierda y la derecha, así que cuando hemos llegado a todos los $13$ puntos en el lado derecho, todavía tenemos una izquierda en el lado izquierdo. Por lo tanto, la ruta no existe.

Answer 2

Establecer un sistema de coordenadas, donde cada bloque corresponde a un % de trío $(a,b,c)$, por ejemplo, la partida cornere será $(1,1,1)$ y el centro ($2,2,2)$. Cada vez que mueves un bloque a otro que comparte una cara con el anterior agregar o restar el $1$ del trío anterior. Inicia desde $(1,1,1)$ y desea terminar en $(2,2,2)$ $26$ pasos. Llame al número de $a$$+1$ y $b$ el número de $-1$, debe tener $$a+b=26$ y $$a-b=2+2+2-1-1-1=3$ $ y esto no es posible.