Supongamos que $B \rightarrow A$ es un morfismo de anillos. Si $M$ es un $A$ -se puede crear $M_B$ considerándolo como un $B$ - módulo. Esto da un functor $\cdot_B: \mathrm{Mod}_A \rightarrow \mathrm{Mod}_B$ . El ejercicio en el que estoy trabajando dice que hay que demostrar que este functor es adjunto a la derecha de $\cdot \otimes_B A$ demostrando que $$ \mathrm{Hom}_A(N \otimes_BA,M) \cong \mathrm{Hom}_B(N,M_B) $$ functorial en ambos argumentos. Lo que me confunde es que para el isomorfismo anterior, ¿qué tipo de morfismo necesito? ¿Bastaría con un morfismo de conjuntos o tiene que ser un morfismo de $B$ -¿módulos? Gracias.
Respuesta
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Se trata en realidad de un caso especial de la unión entre Hom y el tensor; el $\cdot_B$ functor puede ser visto como un Hom: $$ M_B\cong\operatorname{Hom}_B(A,M) $$ siendo el isomorfismo natural $x\mapsto\hat{x}$ , donde $\hat{x}(a)=xa$ . Esto es natural de una manera muy sencilla: básicamente, la definición del morfismo no depende de $M$ . La inversa es el mapa $f\in\operatorname{Hom}_B(A,M)\mapsto f(1)\in M$ .
Entonces se puede aplicar el hecho general de que el functor ${-}\otimes_B A$ es un adjunto izquierdo de $\operatorname{Hom}_B(A,{-})$ .
Pero se puede escribir explícitamente el isomorfismo $$ \operatorname{Hom}_A(N \otimes_BA,M) \cong \operatorname{Hom}_B(N,M_B) $$ de la siguiente manera. En primer lugar, para $f\in\operatorname{Hom}_A(N \otimes_BA,M)$ , defina $\hat{f}\colon N\to M$ por $$ \hat{f}(y)=f(y\otimes 1) $$ y verificar $\hat{f}\in\operatorname{Hom}_B(N,M_B)$ . Entonces, para $g\in\operatorname{Hom}_B(N,M_B)$ , primero se define un $B$ -mapa bilineal $$ \bar{g}\colon N\times A\to M $$ por $\bar{g}(y,a)=g(y)a$ y aplicar la propiedad universal del producto tensorial para obtener $\check{g}\in\operatorname{Hom}_A(N \otimes_BA,M)$ .
Ambos mapas $f\mapsto \hat{f}$ y $g\mapsto\check{g}$ son naturales: no dependen de $N$ y $M$ para su definición, por lo que sólo es tedioso verificar la naturalidad; además, son claramente inversos entre sí.
