Extensiones completas de una teoría consistente

Question

Entiendo que necesito utilizar la compacidad pero de alguna manera no puede terminar.

Supongamos que $L$ es un lenguaje y un $T$ una constante $L$-teoría con solamente finito muchas extensiones completadas lógicamente inequivalent. Demostrar que hay $L$-frases $\sigma_1, ..., \sigma_n$tal manera que cada extensión completa $T' \supseteq T$ es equivalente a uno de los $T \cup \{\sigma_i\}$.

Mi idea inicial era asumir lo opuesto: para cualquier $L$-oraciones $\sigma_1, ..., \sigma_n$ allí es un % de la extensión completa $T' \supseteq T$, que $T' \neq T \cup \{\sigma_i\}$ % todo $i.$

Answer 1

Aquí es un argumento con integridad.

Sea $T_1,\ldots,T_k$ las extensiones completas de $T$. Puesto que son distintos y completo, cada $T_i$ hay fórmulas $\sigma_{i,1},\ldots,\sigma_{i,_k}$ tal que

$T_i\vdash \bigwedge_{j=1}^k\sigma_{i,j}$, pero

$T_j\vdash\neg \sigma_{i,j}$ % todos $j\neq i$.

Poner $\sigma_i=\bigwedge_{j=1}^k\sigma_{i,j}$. Entonces sólo si de $\mathcal M\models T\cup \{\sigma_i\}$ $\mathcal M\models T_i$. Así que por la integridad theoreom, $T\cup \{\sigma_i\}\vdash \sigma$ % todos $\sigma\in T_i$. Así que es equivalente a $T_i$ $T\cup\{\sigma_i\}$.

Answer 2

El siguiente es un enfoque más abstracto - a menudo me encuentro razonamiento de esta manera es más fácil, y me ayuda a subir con la prueba más rápido:

Ver el conjunto sistemático de terminaciones de $T$ como el conjunto de rutas a través de un árbol binario. Específicamente, el fin de el conjunto de todas las sentencias en el lenguaje como $\{\tau_i: i\in\mathbb{N}\}$, y deje $T\subseteq 2^{<\omega}$ ser el árbol de nodos tal que $p\in T$ si $T\cup\{\tau_i: p(i)=1\}\cup\{\neg\tau_j: p(j)=0\}$ es consistente. Tenga en cuenta que $T$ no tiene callejones sin salida.

Ahora, decir que el $T$ tiene sólo un número finito de terminaciones es lo mismo que decir que este árbol tiene sólo un número finito de caminos. Así que podemos recoger algunas $n$ tal de que no hay ningún "ramificación nodos" (elementos de la $p\in T$ tanto $p^\smallfrown\langle 0\rangle$ $p^\smallfrown\langle 1\rangle$ están en el árbol) de longitud $\ge n$. Esto es debido a que $T$ no tiene callejones sin salida: cualquier ramificación nodo tiene que llevar a dos caminos distintos.

Vamos $p_i$ ($i<m$) el conjunto de todos los nodos en $T$ de la longitud de la $n$ - a continuación, cada ruta a través de $T$ está determinada por la $p_i$ pasa a través de, por supuesto, en $n$.

Para cada una de las $p_i$ podemos asociar la frase $$\sigma_i=(\bigwedge_{p_i(j)=1}\tau_j)\wedge(\bigwedge_{p_i(j)=0}\neg\tau_j);$$ the finitely many sentences $\sigma_i$ ($i<m$) tiene la propiedad deseada.

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¿Dónde puedo usar "Compacidad?" Bueno, básicamente la imagen del árbol de la constante de extensiones es todo acerca de la compacidad - la compacidad de la lógica de primer orden$^*$ es equivalente a la compacidad de Cantor espacio! (Esto incluso puede ser rigurosa, a través de la Inversa de Matemáticas).

$^*$Fina, en una contables idioma. :P

Answer 3

También hay una muy simple argumento inductivo:

Suponga $T$ tiene el completo extensiones $T_1,\dots, T_n$ y demostrar por inducción sobre n que hay sentencias $\sigma_1,\dots \sigma_n$ tal que $T_i$ es equivalente a $T \cup \{\sigma_i\}$

El caso n=1 es claro. (Por ejemplo supongamos $\sigma_1$ ser la sentencia de $\forall x :x=x$)

Ahora vamos a $n>1$, lo que significa que no hay dos sin equivalente extensiones de T y, por tanto, una sentencia de $\psi$ s.t. tanto en $T\cup \{\psi\}$ $T\cup \{\neg\psi\}$ son consistentes. Así que no es de $1\leq k <n$ tal que $T\cup \{\psi\}$ k-muchas completa de extensiones y $T\cup \{\neg\psi\}$ $(n-k)$- muchas completa de extensiones.

En ambos casos, por hipótesis de inducción hay $\psi_1,\dots,\psi_n$ de manera tal que cada extensión de la $T\cup \{\psi\}$ es equivalente a un $T\cup \{\psi, \psi_i\}$ $i\leq k$ y cada extensión de la $T\cup \{\neg \psi\}$ es equivalente a un $T\cup \{\neg\psi,\psi_i\}$$i>k$.

Ahora establezca $\sigma_i=\left\{ \begin{array}{ll}\psi\land\psi_i \qquad i \leq k\\ \neg\psi\land\psi_i \qquad i>k\end{array} \right.$