Demostrando que $\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$ tiene un límite

Question

$$x_n=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$$

¿Cómo podemos demostrar que la secuencia $(x_n)$ tiene un límite? Tengo que usar el hecho de que una secuencia creciente tiene un foro de límite limita desde arriba. No pueden utilizarse herramientas más "avanzados". Es obvio que esta secuencia es creciente, pero estoy teniendo problemas para encontrar un límite.

Answer 1

$x_n>1+1+\frac12=2.5$

Nowas David Mitra sugerido, $$\frac1{3!}=\frac1{1\cdot2\cdot3}<\frac1{2\cdot2}=\frac 1{2^2},$ $ $$\frac1{4!}=\frac1{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac1{2\cdot2\cdot2}=\frac 1{2^3}$ $ $$\frac1{5!}=\frac1{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}<\frac1{2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac 1{2^4}$ $

y así sucesivamente.

Por lo tanto, $$x_n<1+1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots< 1+\sum_{0\le r<\infty}\frac1{2^r}=1+\frac1{1-\frac12}=3$ $

Answer 2

Alternativamente se puede utilizar

$$x_n=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!} \leq x_n=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{(n-1)\cdot n}$$

y

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{(n-1)\cdot n}$ $ es telescópica, desde

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \,.$$

Answer 3

Sé que usted no puede ser capaz de utilizar esto para la tarea a la mano, pero yo no podía resistirme a señalar es realmente bueno saber que en el largo plazo:

La infinita suma dada por $x_n$ define (es una representación de) la constante matemática e. Es decir,

$$ \lim_{n\to \infty} x_n\,=\,\lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!} + ... \,=\,\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \,= \,e.$$

Así que, de hecho, como se demuestra por el laboratorio de bhattacharjee, $$2.5 \;\lt\; \lim x_n = e \;\lt \;3$$