Por qué $\sin\left( \frac 1 x \right) $ oscila infinitamente muchas veces como $x \to 0$

Question

A continuación, he tratado de demostrar por qué es $\sin\left( \frac 1 x \right) $ comienza oscilante infinitamente muchas veces como $x$ se aproxima a cero.

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Sabemos que la función Seno es una función oscilante.

Supongamos un período de $p$ de manera tal que, $$\sin\left(\frac 1 x \right) = \sin\left(\frac 1 {x+p}\right)$$

Podemos escribir, $$\frac 1 {x+p}=\frac 1 x - K$$

Donde $K$ es alguna constante positiva, $p$ es positiva y $x>0$ (por simplicidad[ período puede ser calculados para los valores positivos y negativos ]).

En reordenando obtenemos, $$p= \frac x {1-Kx} - x$$

Aquí, $p$ es una función de $x$ y es, por tanto, no es constante.

Ahora, $$\lim_{x\rightarrow 0} p(x) = 0$$

El periodo de baja a cero como $x$ tiende a cero. La duración de cada ciclo se hace infinitesimal. En resumen, como $x$ obtiene infinitamente cercana a cero, la función oscila infinidad de veces.

Me parece que esta comprensión simple. Pero este enfoque aceptable?

Answer 1

Creo que tu enfoque es correcto.

Como un bono poco, aquí va mi explicación, que es más intuitiva. Debido a $\frac{1}{x}$ crece de 1 a infinito cuando x va de 1 a 0, $\sin(\frac{1}{x})$ debe oscilar como muchas veces dentro de la 0 a 1 rango de regular $\sin(x)$ función debe oscilar entre el 1 y el infinito, que es un infinito número de oscilaciones. $\sin(\frac{1}{x})$ debe ajustarse un infinito número de oscilaciones entre 0 y 1, por lo tanto, se ha de oscilar muy rápidamente.Usted puede hacer este argumento para cualquier número distinto de 1, porque también debe haber un número infinito de oscilaciones entre el 0 y el, digamos, 0.0000000001, o 0.0000000000000001, o algo aún más pequeño.

Answer 2

Su argumento es correcto, pero tiene un hueco, algunos menores terminológicos, problemas, y la presentación es pobre.

Para la cuestión terminológica, diciendo: "asumir un período de $p$ tal que $\sin(1/x) = \sin(1/(x+p))$" sugiere fuertemente que usted está diciendo $\sin(1/x)$ es una función periódica con período de $p$, lo que significaría $p$ es constante. Por supuesto, como muestra, $p$ no es constante, por lo que esta terminología es engañosa.

La brecha en su argumento es cuando usted dice $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+p} = K$ para una constante positiva $K$. Esto puede ser hecho para ser cierto, pero no dan ningún argumento de por qué, y el orden de su presentación hace que este no necesariamente, mucho menos, obviamente, cierto. Si, en este punto del argumento, alguien estaba todavía bajo la impresión de que $p$ fue una constante, entonces esto sería obviamente falso. Incluso si el lector no había asumido $p$ fue constante, todavía no hay ningún motivo para creer que esto es cierto.

El problema con su presentación (más allá de la terminología uno) es que primero se supone que hay alguna función $p$ con la propiedad deseada, entonces usted asume una declaración que no tiene que ser verdadero. No es necesariamente el caso de que si $\sin(1/x)=\sin(1/(x+p))$ que $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+p}$ es una constante positiva. Ciertamente, no dan ningún argumento para ello. Además no es cierto para arbitrario $K$, incluso sin saber lo $p$ es. No pretenden esto, pero no dan ningún argumento de cualquier tal $K$ existe. (Desde la perspectiva de la lógica de primer orden, esencialmente lo que está ocurriendo es que se están mezclando de todo el orden de los cuantificadores.)

He aquí una racionalizado versión de lo que creo que su intención era:

En primer lugar, tenga en cuenta que $\sin$ es una función periódica con período de $2\pi k$ para cualquier entero $k$. Set $K = 2\pi k$ positivos $k$. Ahora $\sin(1/x) = \sin(1/x - K)$. Encontrar $p(x)$ tal que $\frac{1}{x} - K =\frac{1}{x+p(x)}$. Podemos hacer esto mediante la resolución de $p(x)$ conseguir $p(x) = \frac{x}{1-Kx}-x$. A partir de aquí continuar como el resto de su argumento.

Por MathTrain y mis comentarios sobre la pregunta de si esta demuestra que $\sin(1/x)$ "oscila rápidamente" depende de lo que "oscila rápidamente" significa.

Answer 3

Usted ha demostrado que si hay un período, entonces debe ser infinitamente pequeño, lo que implica que la función de bajo consideración debe ser constante. Sin embargo, no se considera el caso donde no hay ningún período, que es el caso que este problema pertenece. Desde $\sin\dfrac{1}{x}$ no es constante, entonces, lo que resultó implica que $\sin\dfrac{1}{x}$ no es periódica.

Otro enfoque es considerar los ceros de la función $\sin\dfrac{1}{x}$.

Tenga en cuenta que $\sin\dfrac{1}{x}=0$ si y sólo si $x=\dfrac{1}{k\pi}$, para algunas de las $k\in\mathbb{N}$. La secuencia de $a_k = \dfrac{1}{k\pi}$ enfoques $0$ desde arriba como $k\rightarrow\infty$, por lo que, a continuación, $\forall \varepsilon > 0$ existen infinidad de $x\in(0,\varepsilon]$ tal que $\sin\dfrac{1}{x}=0$. Cada lugar que $\sin\dfrac{1}{x}$ hits cero corresponde a la mitad de un ciclo de seno, por lo que hay infinitamente muchas oscilaciones en $(0,\varepsilon]$.