Es posible demostrar esto? $\ln(\frac{x}{x-1}) < \frac{100}{x} $ $ x > 1$

Question

$-\ln(1-(\frac{1}{x})) < \frac{100}{x} $ $ x > 1$ es lo que quiero demostrar. Me sacó un signo negativo y tengo $\ln(\frac{x}{(x-1)}) < \frac{100}{x} $$ x > 1$. ¿Cómo puedo continuar con esta prueba? O es posible probar este

Edit : quiero que esta prueba Algebrically, el Cálculo es permitido

Answer 1

No es cierto para $x=1+e^{-100}$. Entonces tenemos $$ \log\frac{x}{x-1} = \log(x)+100 > 100 $$ pero $$ \frac{100}{x} < 100 $$ debido a $x>1$.

Answer 2

Como que casi se escribió, lo $x=\frac 1y$, el problema es demostrar que, para $y<1$, $$f(y)=100 y+\log(1-y)>0$$ (the function being undefined at $y=1$). We have $$f'(y)=100-\frac{1}{1-y}$$ which is positive as long as $y<\frac{99}{100}$ and negative for $y>\frac{99}{100}$. On the other hand $$f''(y)=-\frac{1}{(1-y)^2}$$ is always negative. So $f(y)$ increases up to a maximum value equal to $99-\log (100) >0$ and starts decreasing very fast and it exists a value of $y$ slightly below $1$ which makes $f(y)=1$ and negative for larger values. When $y=1-\epsilon$ , $f(y)= 100-100\epsilon+\log(\epsilon)$

Así que, como Henning Makholm respondió, esto no es cierto para todos los $x>1$.

Answer 3

$ln \left(\frac{x}{x-1}\right)<\frac{100}{x}$

$-ln \left(\frac{x-1}{x}\right)<\frac{100}{x}$

$-ln \left(1-\frac{1}{x}\right)<\frac{100}{x}$

$ln \left(1-\frac{1}{x}\right)^x>-100$

$\left(1-\frac{1}{x}\right)^x>e^{-100}$

$\left(1-\frac{1}{x}\right)^x>\frac{1}{e^{100}}$

Creo que el $\frac{1}{e^{100}}$ es casi 0 y LHS es ofcourse $>0$ todos los $x>1$

Así que esto parece bastante razonable.

Edit: de repente parece que no es estrictamente válida para todas las $x>1$ , pero no estoy seguro. Edición:2 Esto no es cierto para sólo

$x\in(1,root\;of\;(x-1)-\frac{x}{e^{100/x}}=0)$

Desde entonces, la raíz se encuentra muy cerca de a $1$ , que es aproximadamente válido. Y creo que esto es suficiente para la solución algebraica.

Answer 4

Solución a \begin{align} \ln\left(\frac{x}{x-1}\right) = \frac{100}{x} \end{align} en términos de la función W de Lambert es \begin{align} x&=\frac{100}{W(-100\exp(-100))+100} \\ &\approx 1.000000000000000000000000000000000000000000037200759760 \end{align}

Por Cierto, WolframAlpha da la respuesta a la desigualdad como

Solución a través de los reales

Answer 5

Se requiere para demostrar que $ln \left(\frac{x}{x-1}\right)<\frac{100}{x}$

es decir, para demostrar $f(x) = {{100} \over x} - ln\left( {{x \over {x - 1}}} \right)>0$

${d \over {dx}}\left({{100} \over x} - ln\left( {{x \over {x - 1}}} \right)\right) = $

=......

=${{ - 101x - 100} \over {\mathop x\nolimits^2 (x + 1)}}$

$f'(x)$ es negativo para todos los $x > 1$

Significado siempre es decreciente.

Fácil mostrar $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = 0$

Así que La función es siempre decreciente hacia 0

implica $f(x) > 0$ $x > 1$

Implica $ln \left(\frac{x}{x-1}\right)<\frac{100}{x}$