Límite superior para $(1-1/x)^x$

Question

Recuerdo que el obligado $$\left(1-\frac1x\right)^x\leq e^{-1}$$ but I can't recall under which condition it holds, or how to prove it. Does it hold for all $x>0$?

Answer 1

A partir de $e^x \geq 1+x$ todos los $x \in \mathbb{R}$:

Para todos los $x \in \mathbb{R}$ $$ e^{-x} \geq 1-x. $$ Para todos los $x \neq 0$ $$ e^{-1/x} \geq 1-\frac{1}{x}. $$ Y, desde $t \mapsto t^x$ es el aumento en $[0,\infty)$ $x \geq 1$ $$ e^{-1} \geq \left(1-\frac{1}{x}\right)^x. $$

Answer 2

Bernoulli la Desigualdad dice que $$ 1+nt\le\left(1+t\right)^n\etiqueta{1} $$ para todos los $t\ge-1$$n\ge1$. Por lo tanto, si $y\ge x\ge1$, $$ \begin{align} 1-\frac1x &=1-\frac yx\frac1y\\ &\le\left(1-\frac1y\right)^{y/x}\\ \left(1-\frac1x\right)^x &\le\left(1-\frac1y\right)^y\tag{2} \end{align} $$ Podemos enviar a $y\to\infty$ para obtener $$ \left(1-\frac1x\right)^x \le\frac1e\etiqueta{3} $$ para $x\ge1$.