Determinantes de bloque de matrices

Question

Deje $A,B \in \mathbb{R}^{n,n}$.

Ahora$C = \begin{pmatrix} A & iB \\ -iB & A \end{pmatrix}$$D = \begin{pmatrix} A & B \\ -B & A \end{pmatrix}$.

Mostrar que $\det(C) \in \mathbb{R}$$\det(D) \ge 0$.

Traté de transformar $C$ lo que podría utilizar $\det \begin{pmatrix} E & F \\ 0 & G \end{pmatrix} = \det(E)\det(G)$, pero no he podido. No tengo ni idea de cómo mostrar el $\det(D) \ge 0$.

Prefiero tener indicios de que el pleno de soluciones. Gracias.

Answer 1

He aquí una sugerencia para (1): pensar acerca de la escala de la primera $n$ filas $-i$.

Todavía pensando en (2). No he trabajado en esto, pero creo que teniendo en cuenta el firmado permutaciones forma de calcular el determinante, y el emparejamiento $\sigma$ $\sigma^{-1}$ podría ser útil.

edit: Sí, de acuerdo, acabo de volver, tener algo un poco similar a levap. Una matriz de la forma $D$ es exactamente un complejo lineal, en virtud de la identificación de $\mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{C}^n$ donde $\mathbb{R}^{2n}$ ha ordenado base $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n$ y $\mathbb{C}^n$ $z_i = x_i + i y_i$.

Con esto, uno no sabe como operador en $\mathbb{C}^n$ uno puede escribir en la forma canónica de Jordan. Si uno tiene un bloque de Jordan: $$\begin{pmatrix} \lambda & - & \ldots \\ & \lambda & \ldots \end{pmatrix}$$with basis $w_i$, setting $w_i = x'_i + iy'_i$, in the ordered basis $x_1', y_1', x_2', y_2' \ldots$, it's easy to check that $D$ has determinant $|\lambda|^r$, where $r$ es el tamaño del bloque de Jordan.

Answer 2

1. Considere la posibilidad de $\begin{pmatrix}I\\&zI\end{pmatrix}C\begin{pmatrix}I\\&\bar{z}I\end{pmatrix}$ para algunos de los números complejos $z$ de módulo 1.
2. Como invertir matrices densas en el espacio de la matriz y determinante es una función continua en las entradas de la matriz, podemos suponer que la $A$ es invertible. Utilizando el bloque determinante de la fórmula, obtenemos $\det D = \det A \det(A+BA^{-1}B) = (\det A)^2\det(I+A^{-1}BA^{-1}B)$. Ahora para cualquier matriz $X$, argumenta por qué los $\det(I+X^2)$ debe ser no negativo.

Answer 3

Voy a responder a la pregunta acerca de la $\det(D)$. Definir la matriz $$ J_0 = \left( \begin{array}{cc} 0 & -I \\ I & 0 \end{array} \right) \in \mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})$$ y tenga en cuenta que $J_0^2 = -I$ y que la matriz de $J_0$ viajes con su matriz $D$. Ahora considere todas las matrices (y los mapas) como matrices sobre los números complejos (en $\mathbb{C}^{2n}$). La matriz $J_0$ es diagonalizable sobre el número complejo con autovalores $\pm i$. Indicar los subespacios propios por $$ V^{\pm} = \mathrm{ker}(J \pm iI) \subset \mathbb{C}^{2n}. $$ Cada subespacio propio es de la compleja dimensión de $n$ y el antilinear conjugación mapa de $S : \mathbb{C}^{2n} \rightarrow \mathbb{C}^{2n}$ dada por $$ S(z_1, \ldots, z_{2n}) = (\bar{z}_1, \ldots, \bar{z}_{2n})$$ los intercambios entre los subespacios propios $V^{+}$$V^{-}$. Desde $J_0$ $D$ viaje, los espacios de $V^{\pm}$ $n$ dimensiones complejas invariantes en espacios de $D$. Considerando $D$ como lineal mapa sobre $\mathbb{C}^{2n}$, tenemos $$ \det(D) = \det(D_+) \det(D_{-}) = d_{+} d_{-} $$ donde los mapas $D_{\pm} : V^{\pm} \rightarrow V^{\pm}$ son sólo las restricciones de $D$ a los subespacios invariantes $V^{\pm}$. Vamos a mostrar que $\bar{d}_{+} = d_{-}$$\det(D) = d_{+} \bar{d}_{+} = |d_{+}|^2 \geq 0$. Debido a $D$ es una verdadera matriz, desplazamientos, en forma lineal mapa con la compleja conjugación $S$. Esto significa que tenemos el diagrama de $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} V^{+} & \ra{D_{+}} & V^{+} \\ \da{S} & & \da{S} \\ V^{-} & \ra{D_{-}} & V^{-} \\ \end{array} $$ donde $S$ es un antilinear isomorfismo. Si $S$ sería un isomorfismo lineal, implicaría que $\det(D_{+}) = \det(D_{-})$. Desde $S$ es antilinear, lo que implica que los factores determinantes que debe ser conjugado.

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Esto puede parecer muy desmotivado si usted no está familiarizado con la noción de una compleja estructura lineal en un espacio vectorial. En virtud de la identificación de $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{R}^{2n}$ dada por $$ (z_1, ..., z_n) = (x_1 + iy_1, ..., x_n + iy_n) \to (x_1, ..., x_n, y_1, ..., y_n) $$ las matrices complejas $A + iB \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ se identifican con las matrices de la forma$D$$\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})$. Este matrices son complejos lineales y por lo conmuta con "la multiplicación por $i$", que corresponde en virtud de la identificación de la multiplicación por $J_0$.