Inyectividad de la función n veces la de Euler Totient de n

Question

Deje $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definido por

$$f(n) = n \varphi(n),$$

donde $\varphi(n)$ es el de Euler Totient función.

Probar que f es inyectiva.

Answer 1

Esto ayuda a que el $f$ es una función multiplicativa.

Supongamos que $f(n_1) = f(n_2)$. Deje $p$ ser el mayor factor principal de $n_1$ (en el caso de $n_1 = 1$ es trivial), y deje $p^k$ ser el más alto poder de $p$ dividiendo $n_1$. A continuación,$p^{2k-1} \mid f(n_1)$, e $p^{2k} \nmid f(n_1)$. Además, $p$ es el mayor factor principal de $f(n_1)$. Por lo tanto $p$ es también el mayor factor principal de $f(n_2)$, por lo tanto, de $n_2$, y $p^k \mid n_2$, $p^{k+1}\nmid n_2$.

Por lo tanto, por el multiplicativity de $f$, también tenemos

$$f\left(\frac{n_1}{p^k}\right) = f\left(\frac{n_2}{p^k}\right).$$

Continuando, después de haber eliminado todos los factores primos de a $n_1$, tenemos

$$f(1) = f\left(\frac{n_2}{n_1}\right),$$

por lo tanto $\frac{n_2}{n_1} = 1$ o $n_2 = n_1$.