R es incontable como un Q-espacio vectorial

Question

Solo quería preguntar si mi prueba es correcta:

Supongamos que en lugar de que $\mathbb{R}$ tenía una contables $\mathbb{Q}$-base, decir $v_1,v_2,v_3,\ldots$ (posiblemente finito).

Desde $\mathbb{Q}$ es contable, $\,\text{span}(v_1,\ldots,v_k)$ es contable para cada una de las $k$ (posiblemente un número finito).

Tenemos $\mathbb{R}=\bigcup_{k}\text{span}(v_1,\ldots,v_k)$ que es una contables de la unión de conjuntos contables.

De ello se desprende que $\mathbb{R}$ es contable. Contradicción.

Yo estaría muy agradecido por cualquier comentario.

Los mejores deseos!

Answer 1

Admitir la posibilidad de que su base es finito, es decir de tamaño $k$ elementos, pero después de ir a discutir el lapso de la primera $n$ elementos para $n \in \mathbb{N}$. Si $n > k$, entonces esto no tiene sentido.

No es un gran problema, y la prueba se ve bien para mí de otra manera.