Existe una función continua?

Question

Existe una función continua f en $[-\pi, \pi]$, s.t. la serie de Fourier de f converge a cero de manera uniforme, sino $f\not\equiv 0$?

Answer 1

Sugerencia: Debido A Que

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |S_n(f,x)|^2\,dx = \sum_{k=-n}^{n }|\hat f (k)|^2,$$

la única manera de $S_n(f,x)$ puede converge uniformemente a cero es para todos los $\bar f (k)=0.$ Que funciones continuas tienen todos los coeficientes de Fourier igual a $0?$

Answer 2

No. Para ser explícitos, vamos a $\iota:C([-\pi,\pi])\hookrightarrow L^2([-\pi,\pi])$ ser la inclusión, y $S_n(f)$ $n$- ésima suma parcial de la serie de Fourier de $f$. Desde $\iota$ es continua, y $S_n(f)\to 0$$C$,$\iota\circ S_n(f)\to 0$$L^2$. Pero desde $\iota\circ f\in L^2$, es igual a su serie de Fourier, es decir,$\iota\circ f=\lim_{n\to \infty}\iota\circ S_n(f)=0$, lo que significa que $f=0$ en casi todas partes. Por la continuidad, $f\equiv 0$.